Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para determinarmos se a série
converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries alternadas e testes de convergência, que nos ajudam a entender o comportamento das somas infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observamos que:
Para grandes valores de
,
, então:
Portanto, a expressão simplifica para:
Assim, o termo geral da série fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, verificamos a convergência absoluta da série, ou seja, analisamos a série sem o sinal alternado:
Para determinar se essa série converge, podemos usar o Teste da Comparação. Sabemos que
cresce mais lentamente que qualquer potência de
, mas multiplicado por
, temos:
Sabemos que
é uma série divergente (soma dos naturais). Portanto, por comparação, a série
também diverge.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Agora, vamos verificar se ela converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada.
Para aplicar esse teste, precisamos verificar duas condições:
- Os termos
são decrescentes. -
.
Observando
:
- A função
é crescente para , então não é decrescente. -
.
Como ambas as condições não são satisfeitas, o teste da série alternada indica que a série não converge condicionalmente.
Resposta
A série
diverge. Utilizamos o Teste da Comparação para verificar a convergência absoluta e o Teste da Série Alternada para a convergência condicional.