Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
sumn=1^infty(-1)^n+1 n ln (n^3+1n^1)

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para determinarmos se a série sumn=1^infty (-1)^n+1 n ln (n^3+1n) converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries alternadas e testes de convergência, que nos ajudam a entender o comportamento das somas infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observamos que:
ln(n^3 + 1n) = ln(n^3 + 1) - ln(n)
Para grandes valores de n, n^3 + 1 approx n^3, então:
ln(n^3 + 1) approx ln(n^3) = 3ln(n)
Portanto, a expressão simplifica para:
ln(n^3 + 1n) approx 3ln(n) - ln(n) = 2ln(n)
Assim, o termo geral da série fica aproximadamente:
an = (-1)^n+1 n cdot 2ln(n) = 2(-1)^n+1 n ln(n)

Passo 3

Agora, verificamos a convergência absoluta da série, ou seja, analisamos a série sem o sinal alternado:
sumn=1^infty |an| = sumn=1^infty 2n ln(n)
Para determinar se essa série converge, podemos usar o Teste da Comparação. Sabemos que ln(n) cresce mais lentamente que qualquer potência de n, mas multiplicado por n, temos:
2n ln(n) >= n
Sabemos que sumn=1^infty n é uma série divergente (soma dos naturais). Portanto, por comparação, a série sumn=1^infty 2n ln(n) também diverge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Agora, vamos verificar se ela converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada.
Para aplicar esse teste, precisamos verificar duas condições:
  1. Os termos bn = 2n ln(n) são decrescentes.
  2. limn to infty bn = 0.
Observando bn = 2n ln(n):
  • A função n ln(n) é crescente para n >= 1, então bn não é decrescente.
  • limn to infty 2n ln(n) = infty neq 0.
Como ambas as condições não são satisfeitas, o teste da série alternada indica que a série não converge condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1 n ln (n^3+1n) diverge. Utilizamos o Teste da Comparação para verificar a convergência absoluta e o Teste da Série Alternada para a convergência condicional.

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