Considere a série sumn=1^infty 1n^2+4 n+3.
Calcule o valor da série.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita, aquele somatório que vai de n = 1 até o infinito: sumn=1^infty 1n^2+4n+3 . Essa é uma questão de cálculo de séries, e pra resolver, vamos precisar usar fatoração de expressões algébricas e frações parciais. Basicamente, vamos dar uma simplificada na expressão para facilitar o cálculo da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: n^2 + 4n + 3 . Nosso objetivo aqui é fatorar esse polinômio para quebrar a fração em partes mais fáceis de somar. Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão 4. Esses números são 1 e 3. Então, podemos reescrever o denominador assim:
n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3)

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos utilizar frações parciais para separar a fração original. Queremos encontrar números A e B tais que:
1(n+1)(n+3) = An+1 + Bn+3
Multiplicando ambos os lados por (n+1)(n+3) , temos:
1 = A(n + 3) + B(n + 1)
Expandindo:
1 = An + 3A + Bn + B = (A + B)n + (3A + B)
Para que essa igualdade seja válida para todo n , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos:
A + B = 0 3A + B = 1
Resolvendo esse sistema, encontramos:
A = 12, B = -12
Então, a fração original fica:
1(n+1)(n+3) = 12(1n+1 - 1n+3)

Passo 4

Com a fração decomposta, a série original se torna:
sumn=1^infty 1n^2+4n+3 = 12 sumn=1^infty ( 1n+1 - 1n+3 )
Vamos expandir os primeiros termos para ver se há cancelamento (telescópico):
12( (12 - 14) + (13 - 15) + (14 - 16) + cdots )
Observa-se que muitos termos se cancelam, ficando apenas os primeiros que não têm correspondentes para cancelar.

Passo 5

Após o cancelamento dos termos intermediários, sobra:
12 ( 12 + 13 )
Calculando isso:
12 ( 36 + 26 ) = 12 cdot 56 = 512

Resposta

O valor da série é 512 .

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