Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita, aquele somatório que vai de até o infinito: . Essa é uma questão de cálculo de séries, e pra resolver, vamos precisar usar fatoração de expressões algébricas e frações parciais. Basicamente, vamos dar uma simplificada na expressão para facilitar o cálculo da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: . Nosso objetivo aqui é fatorar esse polinômio para quebrar a fração em partes mais fáceis de somar. Para isso, buscamos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão 4. Esses números são 1 e 3. Então, podemos reescrever o denominador assim:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos utilizar frações parciais para separar a fração original. Queremos encontrar números e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Expandindo:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
A = 12, B = -12
Então, a fração original fica:
1(n+1)(n+3) = 12(1n+1 - 1n+3)
Passo 4
Com a fração decomposta, a série original se torna: