Considere a série cujos termos são os recíprocos dos inteiros positivos que não possuem 0 na sua representação na base 10.
Use o fato de que cada termo do grupo gn é menor do que 110^n-1, exceto para o grupo g1, para provar que gn<9 cdot(910)^n-1.

Passo 1

O enunciado trata da série formada pelos recíprocos de todos os inteiros positivos cuja representação decimal não contém o dígito 0. Definimos o grupo gn como a soma dos termos que têm exatamente n dígitos. Queremos provar que
gn < 9cdotl(tfrac910r)^n-1
Para isso, vamos usar a contagem de quantos números há em cada grupo e a desigualdade para cada recíproco.

Passo 2

Primeiro, contamos quantos inteiros de n dígitos não têm dígito zero. O primeiro dígito pode ser de 1 a 9 (9 opções) e cada um dos outros n-1 dígitos também pode ser de 1 a 9 (9 opções cada). Logo, o número total de termos em gn é
9 times 9^n-1 = 9^n

Passo 3

Em seguida, para n>=2, todo número de n dígitos é pelo menos 10^n-1. Como estamos excluindo zeros, o menor número sem zero é ainda maior que 10^n-1. Assim, cada recíproco satisfaz
0 < 1número de n dígitos sem zero < 110^n-1úí

Passo 4

Agora basta multiplicar o número de termos pelo maior valor possível de cada recíproco. Para n>=2:
gn < 9^n times 110^n-1 = 9 times l(910r)^n-1

Passo 5

Por fim, confirmamos o caso n=1 separadamente. Nesse grupo, g1 = sumk=1^9 tfrac1k, e como cada 1/k<=1 temos
g1 < 9 = 9 times l(tfrac910r)^0

Passo 6

Portanto, para todo n>=1, vale
$$g_n < 9 \times \Bigl(\tfrac{9}{10}\Bigr)^{n-1}.
$$

Resposta

Para todo n>=1, tem-se
$$g_n < 9 \cdot \Bigl(\tfrac{9}{10}\Bigr)^{n-1}.
$$

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