Considere a série cujos termos são os recíprocos dos inteiros positivos que não possuem 0 na sua representação na base 10.
Use o fato de que cada termo do grupo
é menor do que
, exceto para o grupo
, para provar que
.
Use o fato de que cada termo do grupo
Passo 1
O enunciado trata da série formada pelos recíprocos de todos os inteiros positivos cuja representação decimal não contém o dígito 0. Definimos o grupo
como a soma dos termos que têm exatamente
dígitos. Queremos provar que
Para isso, vamos usar a contagem de quantos números há em cada grupo e a desigualdade para cada recíproco.
Passo 2
Primeiro, contamos quantos inteiros de
dígitos não têm dígito zero. O primeiro dígito pode ser de 1 a 9 (9 opções) e cada um dos outros
dígitos também pode ser de 1 a 9 (9 opções cada). Logo, o número total de termos em
é
Passo 3
Em seguida, para
, todo número de
dígitos é pelo menos
. Como estamos excluindo zeros, o menor número sem zero é ainda maior que
. Assim, cada recíproco satisfaz
Passo 4
Agora basta multiplicar o número de termos pelo maior valor possível de cada recíproco. Para
:
Passo 5
Por fim, confirmamos o caso
separadamente. Nesse grupo,
, e como cada
temos
Passo 6
Portanto, para todo
, vale
$$g_n < 9 \times \Bigl(\tfrac{9}{10}\Bigr)^{n-1}.
$$
Resposta
Para todo
, tem-se
$$g_n < 9 \cdot \Bigl(\tfrac{9}{10}\Bigr)^{n-1}.
$$