Considere a série geométrica \sum_{n=4}^{\infty} 5 \frac{3^{n}}{4^{n-1}}. Justifique que essa série é realmente geométrica, que ela converge e ache o valor de convergência dela.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=4}^{\infty} 5 \,\frac{3^{n}}{4^{n-1}}
identificando que ela é geométrica, justificando sua convergência e calculando sua soma. O conteúdo envolvido é a definição de série geométrica infinita e seu critério de convergência (quando |r|<1) e a fórmula da soma
\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r}.
Passo 2
Reescrevemos o termo geral em forma A\cdot r^{n-4} ou equivalente. Primeiro note que
Podemos mudar o índice para começar em k=0 com k=n-4, mas já vemos que o fator comum é r=\tfrac{3}{4}.
Passo 3
Para verificar convergência usamos que uma série geométrica \sum ar^n converge se, e somente se, |r|<1. Aqui \bigl|\tfrac{3}{4}\bigr|<1, logo a série converge.