Considere a série geométrica \sum_{n=4}^{\infty} 5 \frac{3^{n}}{4^{n-1}}. Justifique que essa série é realmente geométrica, que ela converge e ache o valor de convergência dela.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=4}^{\infty} 5 \,\frac{3^{n}}{4^{n-1}}
identificando que ela é geométrica, justificando sua convergência e calculando sua soma. O conteúdo envolvido é a definição de série geométrica infinita e seu critério de convergência (quando |r|<1) e a fórmula da soma
\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r}.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral em forma A\cdot r^{n-4} ou equivalente. Primeiro note que
5\,\frac{3^n}{4^{n-1}} =5\cdot \frac{3^n}{4^n}\cdot 4 =20\cdot\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^n.
Assim a série fica
\sum_{n=4}^{\infty}20\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^n.
Podemos mudar o índice para começar em k=0 com k=n-4, mas já vemos que o fator comum é r=\tfrac{3}{4}.

Passo 3

Para verificar convergência usamos que uma série geométrica \sum ar^n converge se, e somente se, |r|<1. Aqui \bigl|\tfrac{3}{4}\bigr|<1, logo a série converge.

Passo 4

Para calcular a soma, note que
\sum_{n=4}^{\infty}20\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^n =20\sum_{n=4}^{\infty}\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^n =20\cdot\frac{\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^4}{1-\tfrac{3}{4}}
pela fórmula da série geométrica iniciando no expoente 4. Calculando:
\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^4=\frac{81}{256}, \qquad 1-\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4},
então
20\cdot\frac{\tfrac{81}{256}}{\tfrac{1}{4}} =20\cdot\frac{81}{256}\cdot4 =\frac{20\cdot81}{64} =\frac{1620}{64} =\frac{405}{16}.

Resposta

A série é geométrica com razão r=\tfrac{3}{4}, converge porque |r|<1 e sua soma é
\frac{405}{16}.

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