Encontre a área da região limitada por y=8 x \sqrt{4-x^{2}}, x=0, x=2 e y=0.
Dica 1: use a substituição x=2 \operatorname{sen} \theta ou u=4-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada por y = 8x\sqrt{4 - x^2}, as retas x = 0, x = 2 e y = 0. Para calcularmos essa área, usamos a integral definida de y=f(x) de x=a a x=b:
A = \int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui, a=0, b=2 e f(x)=8x\sqrt{4 - x^2}. Além disso, vamos aplicar a substituição u = 4 - x^2.

Passo 2

Montamos a integral da área sob a curva:
A = \int_{0}^{2} 8x\sqrt{4 - x^2}\,dx.
Esse passo se baseia na definição de área sob a curva em coordenadas cartesianas.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 4 - x^2, \qquad du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.
Quando x=0, u=4; quando x=2, u=0.

Passo 4

Reescrevendo a integral em termos de u:
A = 8 \int_{0}^{2} x\sqrt{4 - x^2}\,dx = 8 \int_{u=4}^{u=0} \sqrt{u}\,\Bigl(-\tfrac{1}{2}\,du\Bigr) = -4 \int_{4}^{0} u^{1/2}\,du = 4 \int_{0}^{4} u^{1/2}\,du.

Passo 5

Calculamos a integral em u:
4 \int_{0}^{4} u^{1/2}\,du = 4 \left[\frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}}\right]_{0}^{4} = 4 \cdot \frac{2}{3}\Bigl(4^{3/2}-0\Bigr) = \frac{8}{3}\cdot 8 = \frac{64}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{64}{3}.

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