Quais das séries abaixo é uma série geométrica?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{12}{(-5)^{n}}
\sum_{n=1}^{\infty} \cos n
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+4}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{7^{n+1}}{10^{n}}
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}

Passo 1

O enunciado pede para identificar, entre seis séries infinitas, quais são séries geométricas. O conteúdo da matéria é série geométrica, cuja definição e critério principal é que o quociente entre termos consecutivos seja constante.

Passo 2

Uma série \sum a_n é geométrica se existir uma constante r tal que, para todo n,
\frac{a_{n+1}}{a_n}=r.
Em geral escrevemos o termo geral como a_n=a\,r^{n-1} ou a\,r^n.

Passo 3

Para \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{12}{(-5)^{n}}, o termo geral é
a_n = \frac{12}{(-5)^n} = 12\bigl(-\tfrac15\bigr)^n.
Então
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{12(-\tfrac15)^{n+1}}{12(-\tfrac15)^n} = -\tfrac15,
constante. Portanto é geométrica com razão r=-\tfrac15.

Passo 4

Para \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\cos n, temos
\frac{\cos(n+1)}{\cos n},
que depende de n. Logo não é geométrica.

Passo 5

Para \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}, o quociente
\frac{\sqrt{n^2+4}}{\sqrt{(n+1)^2+4}}
varia com n. Então não é geométrica.

Passo 6

Para \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{7^{n+1}}{10^n}, reescrevemos
a_n = \frac{7^{n+1}}{10^n} = 7\bigl(\tfrac{7}{10}\bigr)^n.
Assim
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{7(\tfrac{7}{10})^{n+1}}{7(\tfrac{7}{10})^n} = \tfrac{7}{10},
constante. Logo é geométrica com razão r=\tfrac{7}{10}.

Passo 7

Para \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{\sqrt n}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\Bigr), o termo geral não tem a forma a\,r^n e o quociente entre termos depende de n. Não é geométrica.

Passo 8

Para \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}, o quociente
\frac{(n(n+2))^{-1}}{((n+1)(n+3))^{-1}} = \frac{n(n+2)}{(n+1)(n+3)}
depende de n. Portanto não é geométrica.

Resposta

As séries geométricas são \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{12}{(-5)^{n}}
e \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{7^{n+1}}{10^{n}}.

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