Observe as somas abaixo. Tente achar o termo geral de cada série, se possível. Ou seja, tente achar a_{n} e escrever a soma infinita abaixo na forma \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}
\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\cdots \cdot
\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{1}{27}+\frac{2}{81}+\frac{1}{243}+\frac{2}{729}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede que a gente escreva duas somas infinitas na forma
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
ou seja, identifique o termo geral a_{n} de cada série.

Passo 2

Na primeira soma
\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\cdots
os denominadores são 3,6,9,12,15,\dots, que são 3n para n=1,2,3,4,5,\dots. Logo o n-ésimo termo é
a_{n}=\frac{1}{3n}
e a soma fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n}.

Passo 3

Na segunda soma
\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{1}{27}+\frac{2}{81}+\frac{1}{243}+\frac{2}{729}+\cdots
vemos que o denominador em cada termo é 3^{n}\) e o numerador alterna entre \(1\) (para \(n\) ímpar) e \(2\) (para \(n\) par). Assim podemos definir \[a_{n}=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{3^{n}},&\text{se \(n é ímpar},\[6pt] \displaystyle \frac{2}{3^{n}},&se n é par. \end{cases}]
Logo a soma é
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} =\sum_{n=1}^{\infty} \begin{cases} \dfrac{1}{3^{n}},&n\text{ ímpar},\\[4pt] \dfrac{2}{3^{n}},&n\text{ par}. \end{cases}í]

Resposta

\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\cdots =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n},
\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{1}{27}+\frac{2}{81}+\cdots =\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}, \quad a_{n}=\begin{cases} \dfrac{1}{3^{n}},&n\text{ ímpar},\\[4pt] \dfrac{2}{3^{n}},&n\text{ par}. \end{cases}í]

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