Considere a série infinita
. Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para analisar a convergência da série infinita
usando o Teste da Raiz. Então, vamos precisar entender como aplicar esse teste para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a decidir a convergência de séries infinitas examinando o limite da
-ésima raiz do termo geral da série. A fórmula do teste é:
Onde
é o termo geral da série. A interpretação desse limite é a seguinte:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. Aqui,
.
Aplicando o Teste da Raiz, calculamos:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Podemos reescrever o denominador da seguinte forma:
Sabemos que
alterna entre
quando
é par e
quando
é ímpar. Mas, para o limite quando
, o efeito de
se torna insignificante em comparação com
.
Passo 5
Voltando ao cálculo do limite:
Podemos separar o expoente:
À medida que
tende ao infinito:
Então, o expoente tende a 1.
Passo 6
Assim, o limite fica:
Como
, de acordo com o Teste da Raiz, a série converge absolutamente.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Raiz.