Considere a série infinita sumn=1^+infty 12^n+1+(-1)^n. Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para analisar a convergência da série infinita usando o Teste da Raiz. Então, vamos precisar entender como aplicar esse teste para determinar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a decidir a convergência de séries infinitas examinando o limite da L = limn to infty raiz[n]|an| -ésima raiz do termo geral da série. A fórmula do teste é:
Onde é o termo geral da série. A interpretação desse limite é a seguinte:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. Aqui, L = limn to infty raiz[n]12^n+1+(-1)^n .
Aplicando o Teste da Raiz, calculamos:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Podemos reescrever o denominador da seguinte forma:
2^n+1+(-1)^n = 2^n+1 cdot 2^(-1)^n
Sabemos que alterna entre quando é par e quando é ímpar. Mas, para o limite quando , o efeito de se torna insignificante em comparação com .

Passo 5

Voltando ao cálculo do limite:
L = limn to infty raiz[n]12^n+1+(-1)^n = limn to infty 12^n+1+(-1)^nn
Podemos separar o expoente:
n+1+(-1)^nn = 1 + 1n + (-1)^nn
À medida que tende ao infinito:
Então, o expoente tende a 1.

Passo 6

Assim, o limite fica:
L = 12^1 = 12 = 0,5
Como , de acordo com o Teste da Raiz, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge pelo Teste da Raiz.

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