Seja
F(x, y, z) = (y^3 + sen(x), 3xy^2 - y/(1 + y^2) + z, y)
a) F é um campo conservativo no R^3 ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se o campo vetorial é um campo conservativo no espaço tridimensional . Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e quais condições ele deve satisfazer para ser considerado tal.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial é chamado de conservativo se existe uma função escalar (chamada de potencial) tal que , onde é o gradiente de . Isso significa que o campo pode ser derivado de uma única função escalar.

Passo 3

Uma condição importante para que um campo vetorial seja conservativo em é que o seu rotacional (ou “curl”) seja igual a zero em todo o espaço. O rotacional de é dado por:
Se , então o campo é conservativo.

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:

Passo 5

Como todas as componentes do rotacional de são iguais a zero, ou seja, , isso satisfaz a condição necessária para que seja um campo conservativo em .

Resposta

Sim, é um campo conservativo em porque o seu rotacional é igual a zero em todo o espaço.

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