Seja
a) F é um campo conservativo no
? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se o campo vetorial
é um campo conservativo no espaço tridimensional
. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e quais condições ele deve satisfazer para ser considerado tal.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial
é chamado de conservativo se existe uma função escalar
(chamada de potencial) tal que
, onde
é o gradiente de
. Isso significa que o campo pode ser derivado de uma única função escalar.
Passo 3
Uma condição importante para que um campo vetorial seja conservativo em
é que o seu rotacional (ou “curl”) seja igual a zero em todo o espaço. O rotacional de
é dado por:
Se
, então o campo é conservativo.
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Passo 5
Como todas as componentes do rotacional de
são iguais a zero, ou seja,
, isso satisfaz a condição necessária para que
seja um campo conservativo em
.
Resposta
Sim,
é um campo conservativo em
porque o seu rotacional é igual a zero em todo o espaço.