Determine se a série
é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da série representa. O numerador
é o produto dos primeiros
números ímpares, e o denominador
é o produto de uma sequência com diferença de 3 entre os termos.
Passo 3
Vamos simplificar o termo geral da série. Observamos que o numerador pode ser escrito como
, onde
é o fatorial de
. O denominador é uma progressão aritmética com primeiro termo 1 e razão 3, então o produto pode ser expresso como
.
Passo 4
Agora, o termo geral da série fica:
Isso simplifica para:
Passo 5
Para determinar a convergência da série, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a verificar o limite do quociente entre termos consecutivos da série. Se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge.
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão:
Simplificando:
Passo 7
Dividindo os termos de maior grau:
Passo 8
Como
, pelo Teste da Razão, a série converge.
Resposta
A série
é convergente.