Determine se a série sumn=1^+infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)1 cdot 4 cdot 7 cdot ldots cdot(3 n-2) é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da série representa. O numerador é o produto dos primeiros números ímpares, e o denominador é o produto de uma sequência com diferença de 3 entre os termos.

Passo 3

Vamos simplificar o termo geral da série. Observamos que o numerador pode ser escrito como , onde é o fatorial de . O denominador é uma progressão aritmética com primeiro termo 1 e razão 3, então o produto pode ser expresso como .

Passo 4

Agora, o termo geral da série fica:
an = (2n)!2^n cdot n! div (3^n cdot n!) = (2n)!2^n cdot 3^n cdot (n!)^2
Isso simplifica para:
an = (2n)!(n!)^2 cdot 6^n

Passo 5

Para determinar a convergência da série, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a verificar o limite do quociente entre termos consecutivos da série. Se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge.

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão:
Simplificando:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty (2(n+1))!((n+1)!)^2 cdot 6^n+1 times (n!)^2 cdot 6^n(2n)!

Passo 7

Dividindo os termos de maior grau:
L = limn to infty 4 + 6n + 2n^21 + 2n + 1n^2 cdot 16 = 41 cdot 16 = 46 = 23

Passo 8

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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