Em cada uma das seguintes equações diferenciais, diga se ela é linear ou não linear e determine a sua ordem:
d^3y/dt^3 + t dy/dt + cos^2(t) y = t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e precisa descobrir se ela é linear ou não linear e também determinar a ordem dela. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma equação diferencial linear e identificar o termo com a maior derivada para achar a ordem.

Passo 2

Primeiro, o que é uma equação diferencial linear? É uma equação onde a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas uma vez e não estão multiplicadas entre si ou elevadas a alguma potência. Ela geralmente tem a forma:
Aqui, são funções que dependem de , e é uma função conhecida.

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação dada:
Vamos ver se ela é linear:
  1. Termo de : Está na forma com .
  2. Termo de : Está multiplicado por , que é uma função de , então fica com .
  3. Termo de : É multiplicado por , que também é uma função de , então com .
Nenhum destes termos está multiplicando com suas derivadas ou com ele mesmo, e todas as funções multiplicadoras dependem só de . Então, a equação é linear.

Passo 4

Para determinar a ordem da equação, a gente olha qual é a maior derivada presente. Aqui, temos a terceira derivada , então a ordem é 3.

Resposta

A equação diferencial é linear e é de terceira ordem.

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