Expresse o número decimal periódico como uma série e ache o número racional que ela representa:
0,232323…

Passo 1

Então, temos que transformar o número decimal periódico em uma série e descobrir qual número racional ele representa. Isso está relacionado ao conteúdo de frações decimais periódicas e séries geométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar números decimais repetitivos como séries e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o número decimal 0,23 = 0,23 + 0,0023 + 0,000023 + dots como uma soma de termos. O número pode ser escrito assim:
Cada termo depois do primeiro é menor por um fator de , ou seja, cada próximo termo é do anterior.

Passo 3

Agora, identificamos que essa é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
S = a + ar + ar^2 + ar^3 + dots
onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos.

Passo 4

No nosso caso, o primeiro termo S = 0,23 + 0,23 times 0,01 + 0,23 times 0,01^2 + dots é e a razão é (já que cada termo é 1/100 do anterior). Então, nossa série fica:

Passo 5

Para encontrar a soma dessa série infinita, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Substituindo os valores que temos:
S = 0,231 - 0,01 = 0,230,99

Passo 6

Agora, simplificamos a fração 2399 . Multiplicando numerador e denominador por 100 para eliminar as casas decimais, temos:

Resposta

O número decimal periódico representa o número racional .

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