Considere a série numérica
sumn=1^infty 15(1n(n+1))
b) Mostre usando decomposição em frações parciais que ela é uma série telescópica podendo ser escrita como
sumk=1^n 15(1n-1n+1)
e que ela é convergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty 15(1n(n+1))
O objetivo é mostrar que, usando decomposição em frações parciais, essa série pode ser escrita de forma telescópica como:
sumk=1^n 15(1k-1k+1)
E também demonstrar que essa série é convergente. Para isso, vamos precisar entender o que é decomposição em frações parciais e séries telescópicas.

Passo 2

Decomposição em Frações Parciais: É uma técnica usada para quebrar frações complexas em somas de frações mais simples, facilitando a soma de séries ou a integração de funções racionais.
No nosso caso, temos a fração:
1n(n+1)
Queremos encontrar números 1n(n+1) = An + Bn+1 e tais que:

Passo 3

Vamos determinar os valores de 1 = A(n+1) + Bn e 1 = A(0) + B(-1) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1 :
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(1) + B(0) Rightarrow 1 = A Rightarrow A = 1 :
1n(n+1) = 1n - 1n+1
Para encontrar e , podemos escolher valores de que simplifiquem a equação.
  • Se :
  • Se :
Então, temos:

Passo 4

Substituindo essa decomposição na série original:
sumn=1^infty 15(1n(n+1)) = sumn=1^infty 15(1n - 1n+1)
Isso mostra que a série pode ser escrita como uma série telescópica:
sumk=1^n 15(1k - 1k+1)

Passo 5

Série Telescópica: É uma série onde muitos termos se cancelam quando somados. Vamos ver como isso acontece:
sumk=1^n 15(1k - 1k+1) = 15(1 - 12) + 15(12 - 13) + dots + 15(1n - 1n+1)
Observamos que 15(1 - 1n+1) do primeiro termo cancela com do segundo, e assim por diante, até restar apenas:

Passo 6

Agora, para mostrar que a série é convergente, vamos analisar o limite quando limn to infty 15(1 - 1n+1) = 15(1 - 0) = 15 tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge para .

Resposta

A série é telescópica e converge para .

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