Considere a série numérica
b) Mostre usando decomposição em frações parciais que ela é uma série telescópica podendo ser escrita como
e que ela é convergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é mostrar que, usando decomposição em frações parciais, essa série pode ser escrita de forma telescópica como:
E também demonstrar que essa série é convergente. Para isso, vamos precisar entender o que é decomposição em frações parciais e séries telescópicas.
Passo 2
Decomposição em Frações Parciais: É uma técnica usada para quebrar frações complexas em somas de frações mais simples, facilitando a soma de séries ou a integração de funções racionais.
No nosso caso, temos a fração:
Queremos encontrar números
e
tais que:
Passo 3
Vamos determinar os valores de
e
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
-
Se
: -
Se
:
Então, temos:
Passo 4
Substituindo essa decomposição na série original:
Isso mostra que a série pode ser escrita como uma série telescópica:
Passo 5
Série Telescópica: É uma série onde muitos termos se cancelam quando somados. Vamos ver como isso acontece:
Observamos que
do primeiro termo cancela com
do segundo, e assim por diante, até restar apenas:
Passo 6
Agora, para mostrar que a série é convergente, vamos analisar o limite quando
tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge para
.
Resposta
A série é telescópica e converge para
.