Determine uma função
tal que
e use este fato para calcular a integral de linha
, onde
é fornecida.
(e)
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede para achar uma função potencial f tal que
e depois usar o teorema fundamental das integrais de linha para calcular
. Aqui o tema é campo vetorial e integral de linha, e vamos precisar testar se
é conservativo (isto é, se existe potencial) e, se não for, então fazer a integral paramétrica direto.
Passo 2
Para testar se
é conservativo, calculamos o rotor. Em particular, basta verificar se
. Temos
Como
(em geral), o campo não é conservativo e não existe uma função
com
.
Passo 3
Como não podemos usar potencial, vamos direto à integral paramétrica. A curva é
Então
E substituímos em
:
Passo 4
Agora montamos o produto escalar e integramos:
Simplificando, isso vira
Então
Passo 5
Portanto, apesar de
não ser conservativo, a integral de linha sobre a curva dada é fácil de calcular por parametrização.
Como resumo final, não existe tal que
, mas fazendo a integral direta obtemos o valor pedido.
Como resumo final, não existe
Resposta
17/3