Determine uma função f tal que F=nabla f e use este fato para calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é fornecida.
(e) F(x, y, z)=(y^2+2 x z^2) i+2 x y z j+(x^2+2 x^2 z) k, r(t)=lang<=raizt, t+1, z=t^2rang<=, 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma função potencial f tal que nabla f= F e depois usar o teorema fundamental das integrais de linha para calcular integralC Fcdot d r. Aqui o tema é campo vetorial e integral de linha, e vamos precisar testar se F é conservativo (isto é, se existe potencial) e, se não for, então fazer a integral paramétrica direto.

Passo 2

Para testar se F=(P,Q,R) é conservativo, calculamos o rotor. Em particular, basta verificar se partial P/partial y=partial Q/partial x. Temos
P(x,y,z)=y^2+2xz^2
partial Ppartial y=2y,
Q(x,y,z)=2xyz
partial Qpartial x=2yz
Como 2yneq2yz (em geral), o campo não é conservativo e não existe uma função f com nabla f= F.

Passo 3

Como não podemos usar potencial, vamos direto à integral paramétrica. A curva é
r(t)=(raiz t,,t+1,,t^2), 0<= t<=1
Então
r'(t)=l(tfrac12raiz t,,1,,2tr)
E substituímos em F:
F( r(t))=l((t+1)^2+2raiz t,t^4,;2raiz t,(t+1),t^2,;t+2t^3r)

Passo 4

Agora montamos o produto escalar e integramos:
F( r(t))cdot r'(t) =(t+1)^22raiz t+t^4+2raiz t,(t+1)+(t+2t^3),2t
Simplificando, isso vira
5t^2+6t+12raiz t+2t^2+5t^4 =52t^3/2+3t^1/2+tfrac12t^-1/2+2t^2+5t^4
Então
integral0^1 Fcdot d r =integral0^1l(tfrac52t^3/2+3t^1/2+tfrac12t^-1/2+2t^2+5t^4r)dt =1+2+1+tfrac23+1=tfrac173

Passo 5

Portanto, apesar de F não ser conservativo, a integral de linha sobre a curva dada é fácil de calcular por parametrização.
Como resumo final, não existe f tal que nabla f= F, mas fazendo a integral direta obtemos o valor pedido.

Resposta

17/3

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