Vamos escrever explicitamente o termo geral que vamos usar no teste da razão:
a_n=\frac{n(x+1)^{n}}{4^{n}}.
Aqui n é o índice da soma (vai para +\infty) e x é a variável real cujo intervalo de convergência queremos achar. É importante identificar o fator dependente de n e o fator dependente de x para aplicar o teste da razão direitinho.
Passo 3
Explicando o teste da razão (de forma prática):
O teste da razão diz que, para uma série com termos a_n (possivelmente dependentes de x), se existir o limite
Quando a série é uma série de potência em (x-c), o condicional L<1 normalmente se reduz a uma desigualdade do tipo |x-c|<R, onde R é o raio de convergência. Nosso objetivo é calcular esse L e extrair R.
Passo 4
Calculemos \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|. Primeiro escrevemos a_{n+1}:
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1, obtemos
L=\frac{|x+1|}{4}.
Pelo teste da razão, a série converge (absolutamente) quando L<1, isto é,
\frac{|x+1|}{4}<1.
Multiplicando ambos os lados por 4 obtemos
|x+1|<4.
Isto determina o raio de convergência. O raio R é o valor tal que |x+1|<R, portanto
R=4.
Passo 6
Agora precisamos determinar o intervalo de convergência completo, ou seja, verificar os pontos extremos da desigualdade |x+1|\le 4. Os extremos são dados por x+1=4 e x+1=-4. Calculamos os x:
x+1=4\implies x=3,
x+1=-4\implies x=-5.
Portanto a condição obtida pelo teste da razão indica convergência absoluta para x em (-5,3). Falta testar x=-5 e x=3 separadamente, porque o teste da razão só dá a condição estrita.
Observação didática: um requisito necessário para que uma série \sum b_n converja é que b_n\to 0 quando n\to\infty. Aqui b_n=n e \lim_{n\to\infty} n = +\infty\neq 0. Logo a série diverge (na verdade diverge para infinito). Portanto x=3 não pertence ao conjunto de convergência.
Novamente, verificar o termo geral: o módulo do termo é |n(-1)^{n}|=n, e \lim_{n\to\infty} n = +\infty\neq 0. Como o termo geral não tende a zero, pela condição necessária para convergência, a série diverge. (Mesmo que seja alternada, a série alternada só pode convergir se o termo em módulos tender a zero; aqui não acontece.) Portanto x=-5 também não pertence ao conjunto de convergência.
Passo 9
Conclusão juntando tudo:
Pelo teste da razão obtivemos R=4.
A série converge absolutamente para |x+1|<4, isto é para x\in(-5,3).
Nos extremos x=-5 e x=3 a série diverge, então esses pontos não são incluídos no intervalo de convergência.
Resposta
Raio de convergência: 4
Intervalo de convergência: (-5,3)