(2,0) Considere a série de potência:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(x+1)^{n}}{4^{n}}
a) (1,0) Use o teste da razão para determinar o raio de convergência da série;
b) (1,0) Determine o intervalo de convergência da série.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potência
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(x+1)^{n}}{4^{n}}
e pede duas coisas:
  1. Use o teste da razão para determinar o raio de convergência da série.
  2. Determine o intervalo de convergência da série (ou seja, para quais x a série converge, verificando também os extremos).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
\text{termo geral } a_n(x)=\frac{n(x+1)^{n}}{4^{n}}.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente o termo geral que vamos usar no teste da razão:
a_n=\frac{n(x+1)^{n}}{4^{n}}.
Aqui n é o índice da soma (vai para +\infty) e x é a variável real cujo intervalo de convergência queremos achar. É importante identificar o fator dependente de n e o fator dependente de x para aplicar o teste da razão direitinho.

Passo 3

Explicando o teste da razão (de forma prática):
O teste da razão diz que, para uma série com termos a_n (possivelmente dependentes de x), se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,
então
  • se L<1 a série converge (absolutamente),
  • se L>1 a série diverge,
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Quando a série é uma série de potência em (x-c), o condicional L<1 normalmente se reduz a uma desigualdade do tipo |x-c|<R, onde R é o raio de convergência. Nosso objetivo é calcular esse L e extrair R.

Passo 4

Calculemos \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|. Primeiro escrevemos a_{n+1}:
a_{n+1}=\frac{(n+1)(x+1)^{n+1}}{4^{n+1}}.
Agora a razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(n+1)(x+1)^{n+1}/4^{n+1}}{n(x+1)^{n}/4^{n}}\right|.
Façamos as simplificações passo a passo dentro do valor absoluto:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{n+1}{n}\cdot\frac{(x+1)^{n+1}}{(x+1)^{n}}\cdot\frac{4^{n}}{4^{n+1}}\right|.
Agora simplificando as potências:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left(\frac{n+1}{n}\right)\cdot\left|x+1\right|\cdot\frac{1}{4}.

Passo 5

Tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)\cdot\frac{|x+1|}{4}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1, obtemos
L=\frac{|x+1|}{4}.
Pelo teste da razão, a série converge (absolutamente) quando L<1, isto é,
\frac{|x+1|}{4}<1.
Multiplicando ambos os lados por 4 obtemos
|x+1|<4.
Isto determina o raio de convergência. O raio R é o valor tal que |x+1|<R, portanto
R=4.

Passo 6

Agora precisamos determinar o intervalo de convergência completo, ou seja, verificar os pontos extremos da desigualdade |x+1|\le 4. Os extremos são dados por x+1=4 e x+1=-4. Calculamos os x:
x+1=4\implies x=3,
x+1=-4\implies x=-5.
Portanto a condição obtida pelo teste da razão indica convergência absoluta para x em (-5,3). Falta testar x=-5 e x=3 separadamente, porque o teste da razão só dá a condição estrita.

Passo 7

Teste do extremo x=3. Substituindo em a_n:
a_n\big|_{x=3}=\frac{n(3+1)^{n}}{4^{n}}=\frac{n\cdot 4^{n}}{4^{n}}=n.
A série correspondente é
\sum_{n=1}^{\infty} n.
Observação didática: um requisito necessário para que uma série \sum b_n converja é que b_n\to 0 quando n\to\infty. Aqui b_n=n e \lim_{n\to\infty} n = +\infty\neq 0. Logo a série diverge (na verdade diverge para infinito). Portanto x=3 não pertence ao conjunto de convergência.

Passo 8

Teste do extremo x=-5. Substituindo em a_n:
a_n\big|_{x=-5}=\frac{n(-5+1)^{n}}{4^{n}}=\frac{n(-4)^{n}}{4^{n}}=n(-1)^{n}.
A série correspondente é
\sum_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n}.
Novamente, verificar o termo geral: o módulo do termo é |n(-1)^{n}|=n, e \lim_{n\to\infty} n = +\infty\neq 0. Como o termo geral não tende a zero, pela condição necessária para convergência, a série diverge. (Mesmo que seja alternada, a série alternada só pode convergir se o termo em módulos tender a zero; aqui não acontece.) Portanto x=-5 também não pertence ao conjunto de convergência.

Passo 9

Conclusão juntando tudo:
  • Pelo teste da razão obtivemos R=4.
  • A série converge absolutamente para |x+1|<4, isto é para x\in(-5,3).
  • Nos extremos x=-5 e x=3 a série diverge, então esses pontos não são incluídos no intervalo de convergência.

Resposta

Raio de convergência: 4
Intervalo de convergência: (-5,3)

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