por uma série de potências em x e detemine o seu raio de conve.gência.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2}{3-x}
e pede duas coisas:
Representar f(x) por uma série de potências em x (isto é, uma série do tipo \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, centrada em 0).
Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica de f(x) e que devemos obter uma série em potências de x. Observação: f está indefinida em x=3, o que será útil ao inferirmos o raio de convergência.
Passo 2
Estratégia útil (explicada passo a passo): há uma série conhecida e muito prática chamada série geométrica. A ideia é manipular \displaystyle\frac{2}{3-x} para colocá-la na forma de uma constante vezes \dfrac{1}{1-r}, porque sabemos que \dfrac{1}{1-r} se desenvolve em uma soma infinita simples quando |r|<1. Primeiro vamos reescrever \dfrac{2}{3-x} factoringo um 3 no denominador.
Aqui eu extraí 3 de 3-x: 3-x=3\bigl(1-\tfrac{x}{3}\bigr). Essa manipulação é só álgebra básica para colocar a função na forma necessária.
Passo 4
Agora a série geométrica: para qualquer número r com |r|<1 vale a identidade
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}.
Explicando: a soma parcial S_N=\sum_{n=0}^{N}r^n=\dfrac{1-r^{N+1}}{1-r}. Se |r|<1 então r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, logo S_N\to\dfrac{1}{1-r}. Assim a série converge para \dfrac{1}{1-r}.
Passo 5
Aplicamos a série geométrica com r=\dfrac{x}{3}. Como reescrevemos \displaystyle f(x)=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{1-\tfrac{x}{3}}, substituindo a soma obtemos: