(1,5) Represente a função
f(x)=\frac{2}{3-x}
por uma série de potências em x e detemine o seu raio de conve.gência.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2}{3-x}
e pede duas coisas:
  1. Representar f(x) por uma série de potências em x (isto é, uma série do tipo \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, centrada em 0).
  2. Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes fornecidas: a expressão algébrica de f(x) e que devemos obter uma série em potências de x. Observação: f está indefinida em x=3, o que será útil ao inferirmos o raio de convergência.

Passo 2

Estratégia útil (explicada passo a passo): há uma série conhecida e muito prática chamada série geométrica. A ideia é manipular \displaystyle\frac{2}{3-x} para colocá-la na forma de uma constante vezes \dfrac{1}{1-r}, porque sabemos que \dfrac{1}{1-r} se desenvolve em uma soma infinita simples quando |r|<1. Primeiro vamos reescrever \dfrac{2}{3-x} factoringo um 3 no denominador.

Passo 3

Fatorando 3 no denominador:
\frac{2}{3-x}=\frac{2}{3\left(1-\dfrac{x}{3}\right)}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{x}{3}}.
Aqui eu extraí 3 de 3-x: 3-x=3\bigl(1-\tfrac{x}{3}\bigr). Essa manipulação é só álgebra básica para colocar a função na forma necessária.

Passo 4

Agora a série geométrica: para qualquer número r com |r|<1 vale a identidade
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}.
Explicando: a soma parcial S_N=\sum_{n=0}^{N}r^n=\dfrac{1-r^{N+1}}{1-r}. Se |r|<1 então r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, logo S_N\to\dfrac{1}{1-r}. Assim a série converge para \dfrac{1}{1-r}.

Passo 5

Aplicamos a série geométrica com r=\dfrac{x}{3}. Como reescrevemos \displaystyle f(x)=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{1-\tfrac{x}{3}}, substituindo a soma obtemos:
\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{x}{3}}=\frac{2}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{3}\right)^{n}.
Agora simplificamos os termos:
\frac{2}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{3}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{3}\cdot\frac{x^{n}}{3^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{3^{\,n+1}}\,x^{n}.
Para ficar mais concreto, os primeiros termos são
\frac{2}{3}+\frac{2}{9}x+\frac{2}{27}x^{2}+\frac{2}{81}x^{3}+\cdots.

Passo 6

Determinando o raio de convergência: a condição de validade da série geométrica aplicada foi \left|\dfrac{x}{3}\right|<1. Isso é equivalente a
|x|<3.
Portanto a série converge para |x|<3, ou seja, o raio de convergência é 3.
Como verificação alternativa (opcional): usando o teste da razão sobre os coeficientes a_n=\dfrac{2}{3^{n+1}},
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{2/3^{n+2}}{2/3^{n+1}}=\frac{1}{3},
e o raio R é o inverso desse limite, R=\dfrac{1}{1/3}=3, concorrentemente com a condição obtida antes.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{3^{\,n+1}}\,x^{n}=\frac{2}{3}+\frac{2}{9}x+\frac{2}{27}x^{2}+\cdots
Raio de convergência: 3

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