Considere a sequência de termo geral
a.
Calcule
.
b.
A série
'é convergènte oe divergente? Justifique!–
a.
b.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termo geral
e pede duas coisas:
- Calcular
. - Dizer se a série
é convergente ou divergente e justificar.
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula explícita de
para natural: . - A série começa em
(observe que , mas isso não altera o comportamento da soma infinita).
Passo 2
Vamos calcular o limite interior ao logaritmo primeiro. Factoramos
no numerador e no denominador para entender o comportamento quando
:
Aqui usei a propriedade comum de limites de frações: fatorar a maior potência de
simplifica a análise do limite.
Passo 3
Agora tomamos limite para
do quociente encontrado. Como
quando
, temos
Portanto o argumento do logaritmo tende a
, que é um número positivo.
Passo 4
Usamos agora a continuidade da função logaritmo natural: a função
é contínua em
. Uma propriedade prática disso é: se
com
, então
. Aplicando essa propriedade ao nosso caso (onde o argumento tende a
), obtemos
Passo 5
Simplificamos
usando a propriedade
:
Portanto concluímos que
.
Passo 6
Agora tratamos a série
. Vou usar um teste básico e muito útil: condição necessária para convergência de uma série.
Teorema (teste do termo geral): Se converge, então necessariamente
. Uma demonstração rápida: se
converge para
, então
e, tomando limites,
.
Teorema (teste do termo geral): Se
Passo 7
Aplicamos o teste ao nosso caso. Do Passo 5 temos
. Como
, a condição necessária para que a série converge falha. Logo a série
não pode convergir — ela diverge.
Comentário adicional (útil na prova): de fato, como
com
, os somatórios parciais
tendem a
aproximadamente como
, então a divergência é para
.