(1,5) Considere a sequência de termo geral a_{n}=\ln \left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)
a. (1,0) Calcule \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}.
b. (0,5) A série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 'é convergènte oe divergente? Justifique!–

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral a_{n}=\ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right) e pede duas coisas:
  1. Calcular \lim_{n\to\infty} a_{n}.
  2. Dizer se a série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} é convergente ou divergente e justificar.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula explícita de a_{n} para n natural: a_{n}=\ln\!\left(\dfrac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right).
  • A série começa em n=0 (observe que a_{0}=\ln(1)=0, mas isso não altera o comportamento da soma infinita).

Passo 2

Vamos calcular o limite interior ao logaritmo primeiro. Factoramos n^{2} no numerador e no denominador para entender o comportamento quando n\to\infty:
\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1} =\frac{n^{2}\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right)}{n^{2}\left(2+\dfrac{1}{n^{2}}\right)} =\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Aqui usei a propriedade comum de limites de frações: fatorar a maior potência de n simplifica a análise do limite.

Passo 3

Agora tomamos limite para n\to\infty do quociente encontrado. Como \dfrac{1}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}} =\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}.
Portanto o argumento do logaritmo tende a \dfrac{1}{2}, que é um número positivo.

Passo 4

Usamos agora a continuidade da função logaritmo natural: a função \ln(x) é contínua em (0,\infty). Uma propriedade prática disso é: se x_{n}\to L com L>0, então \ln(x_{n})\to \ln(L). Aplicando essa propriedade ao nosso caso (onde o argumento tende a 1/2>0), obtemos
\lim_{n\to\infty} a_{n} =\lim_{n\to\infty}\ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right) =\ln\!\left(\frac{1}{2}\right).

Passo 5

Simplificamos \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) usando a propriedade \ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\ln(x):
\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2.
Portanto concluímos que \lim_{n\to\infty} a_{n}=-\ln 2.

Passo 6

Agora tratamos a série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}. Vou usar um teste básico e muito útil: condição necessária para convergência de uma série.
Teorema (teste do termo geral): Se \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} converge, então necessariamente \lim_{n\to\infty} a_{n}=0. Uma demonstração rápida: se S_{N}=\sum_{n=0}^{N} a_{n} converge para S, então a_{n}=S_{n}-S_{n-1} e, tomando limites, \lim_{n\to\infty} a_{n}=S-S=0.

Passo 7

Aplicamos o teste ao nosso caso. Do Passo 5 temos \lim_{n\to\infty} a_{n}=-\ln 2. Como -\ln 2\neq 0, a condição necessária para que a série converge falha. Logo a série \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} não pode convergir — ela diverge.
Comentário adicional (útil na prova): de fato, como a_{n}\to -\ln 2 com -\ln 2<0, os somatórios parciais S_{N} tendem a -\infty aproximadamente como -N\ln 2, então a divergência é para -\infty.

Resposta

\lim_{n\to\infty} a_{n} = -\ln 2\n \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} é divergente

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