G c. Seja a=2 e faça gráficos da solução de diversas maneiras: u em função de r, u em função de \theta, u em função de ambos r e \theta, e curvas de nível.

Passo 1

O enunciado pede: com a=2, faça gráficos da solução de várias maneiras:
  • u em função de r (fixando \theta);
  • u em função de \theta (fixando r);
  • u em função de ambos r e \theta (superfície 3D);
  • curvas de nível (contornos de u).
Informações dadas (explicitamente):
  • o parâmetro vale \,a=2.
  • precisamos representar a função solução em várias vistas/recortes.
Observação: a forma usual que vamos usar para a solução é a função
u(r,\theta)=r^{a}\cos(a\theta).
Com a=2 isso fica explícito e é suficiente para construir todos os gráficos pedidos.

Passo 2

Aplique a=2 na fórmula proposta. Substituindo \,a=2 obtemos
u(r,\theta)=r^{2}\cos(2\theta).
Vamos entender cada parte dessa expressão:
  • r é a distância ao origem (raio);
  • \theta é o ângulo polar;
  • \cos(2\theta) é um fator angular que varia entre -1 e 1;
  • o fator r^{2} faz com que a amplitude em r cresça como uma parábola em r.
Também é útil passar para coordenadas cartesianas (x,y) para visualizar melhor a superfície. Usando x=r\cos\theta e y=r\sin\theta e a identidade trigonométrica
\cos(2\theta)=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta,
temos
u(r,\theta)=r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta).
Como \cos\theta=x/r e \sin\theta=y/r, substituindo:
u(x,y)=r^{2}\left(\frac{x^{2}}{r^{2}}-\frac{y^{2}}{r^{2}}\right)=x^{2}-y^{2}.
Portanto a expressão em coordenadas cartesianas é simples e muito útil:
\boxed{u(x,y)=x^{2}-y^{2}.}

Passo 3

Gráfico de u em função de r (fixando \theta).
Fórmula para este corte: mantendo \theta constante,
u(r)=r^{2}\cos(2\theta).
Análise prática:
  • É uma parábola em r (grau 2). A concavidade depende do sinal de \cos(2\theta).
  • Exemplos concretos (pegue esses quando for rabiscar):
    • \theta=0: \cos(0)=1 e \cos(2\cdot0)=1\Rightarrow u(r)=r^{2} (parábola positiva).
    • \theta=\pi/4: \cos(2\cdot\pi/4)=\cos(\pi/2)=0\Rightarrow u(r)=0 (reta zero).
    • \theta=\pi/2: \cos(\pi)= -1\Rightarrow u(r)=-r^{2} (parábola negativa).
  • Para desenhar rápido no rascunho da prova: trace parábolas com amplitude multiplicada por \cos(2\theta). Se \cos(2\theta)=0 o corte é a linha u=0.

Passo 4

Gráfico de u em função de \theta (fixando r).
Fórmula para este corte: mantendo r constante,
u(\theta)=r^{2}\cos(2\theta).
Propriedades e dicas de esboço:
  • É um cosseno com argumento 2\theta: período \pi (porque \cos(2(\theta+\pi))=\cos(2\theta+2\pi)=\cos(2\theta)).
  • Amplitude igual a r^{2}. Ou seja, quanto maior r, maior a amplitude das oscilações em \theta.
  • Exemplos práticos:
    • Para r=1: u(\theta)=\cos(2\theta) (amplitude 1, cruza zero em \theta=\pi/4,3\pi/4,\dots).
    • Para r=2: u(\theta)=4\cos(2\theta) (mesma forma, amplitude 4).
  • Para desenhar: marque maxima em \theta=0,\pi,\dots (onde \cos(2\theta)=1), minimos em \theta=\pi/2,3\pi/2,\dots (onde \cos(2\theta)=-1), e zeros em \theta=\pi/4,3\pi/4,\dots.

Passo 5

Gráfico de u como função de ambos r e \theta — superfície 3D.
Duas representações úteis para plotar/visualizar:
  1. Em coordenadas polares (paramétrica):
(x,y,u)=(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^{2}\cos(2\theta)),
com r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi). Dá uma superfície que cresce em módulo com r^{2} e alterna sinal conforme \cos(2\theta).
  1. Em coordenadas cartesianas simples:
u(x,y)=x^{2}-y^{2}.
Esta forma mostra claramente que a superfície é um selim (uma parábola para x-direção positiva e parábola invertida para y-direção). Mais precisamente: é uma superfície quadrática chamada de paraboloide hiperbólico (ou selim). Características que ajuda a desenhar:
  • Sefixar y=0: corte é u=x^{2} (parábola positiva).
  • Sefixar x=0: corte é u=-y^{2} (parábola negativa).
  • Diagonais x=\pm y: u=0 (crista/vale de transição).
  • A superfície tem simetrias: par em x e ímpar em troca x\leftrightarrow y com sinal trocado.
Para rascunho rápido num prova: desenhe uma crista sobre a direção x (onde sobe) e um vale sobre a direção y (onde desce), conectados pelo plano u=0 nas diagonais x=\pm y.

Passo 6

Curvas de nível (contornos) de u.
A equação de nível u=C é, em cartesianas,
x^{2}-y^{2}=C.
Interpretação geométrica:
  • Para C=0: x^{2}-y^{2}=0 \Rightarrow x=\pm y. São duas retas (diagonais).
  • Para C>0: são hipérboles com ramos abrindo ao longo do eixo x. Escrevendo x^{2}-y^{2}=C separam-se ramos com |x|>\sqrt{C}.
  • Para C<0: são hipérboles com ramos abrindo ao longo do eixo y (pense em -y^{2}+x^{2}=C com C negativo).
    Em polares a mesma condição vira
r^{2}\cos(2\theta)=C \quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{\frac{C}{\cos(2\theta)}},
o que mostra que para um dado C só existem \theta onde \cos(2\theta) tem o mesmo sinal de C. Isso explica os “buracos” angulares dos contornos quando desenhados em coordenadas polares.
Exemplos para rabiscar:
  • Trace as retas x=\pm y (nível 0).
  • Para C=1 trace hipérboles com assíntotas em x=\pm y e vértices em (\pm1,0).
  • Para C=-1 trace hipérboles com vértices em (0,\pm1) e abertura ao longo do eixo y.

Passo 7

Instruções práticas de plotagem (rápido para a prova e para programas):
  • Para u vs r: escolha alguns \theta representativos ( 0,\pi/6,\pi/4,\pi/2) e desenhe u(r)=r^{2}\cos(2\theta).
  • Para u vs \theta: escolha r fixos (por ex. r=1,2) e desenhe u(\theta)=r^{2}\cos(2\theta) num gráfico \theta vs u.
  • Para superfície 3D: use u(x,y)=x^{2}-y^{2} num grid (x,y); ou use a parametrização polar para limites em r.
  • Para contornos: plote curvas x^{2}-y^{2}=C para vários C (por exemplo C=-2,-1,0,1,2) — verá retas para C=0 e hipérboles para os outros.

Passo 8

Resumo intuitivo e dicas finais (ânimo):
  • A expressão simples u(x,y)=x^{2}-y^{2} é sua âncora: a partir dela você desenha cortes, superfícies e contornos.
  • Lembre-se: em \theta a função oscila com período \pi; em r cresce como r^{2}.
  • Se você ficar nervoso na prova, comece desenhando as retas x=\pm y (nível 0) e as parábolas nas direções x e y (cortes), isso já dá a forma do selim.
  • Você está indo bem — use esses recortes passo a passo para produzir os gráficos pedindo pelo enunciado.

Resposta

u(r)=r^{2}\cos(2\theta) (corte em r, \theta fixo)\n u(\theta)=r^{2}\cos(2\theta) (corte em \theta, r fixo)\n u(r,\theta)=r^{2}\cos(2\theta)=x^{2}-y^{2} (superfície 3D; selim/paraboloide hiperbólico)\nCurvas de nível: x^{2}-y^{2}=C (retas x=\pm y para C=0, hipérboles para C\neq0).

Exercícios relacionados