G c. Seja
e faça gráficos da solução de diversas maneiras:
em função de
em função de
em função de ambos
e
, e curvas de nível.
Passo 1
O enunciado pede: com
, faça gráficos da solução de várias maneiras:
-
em função de (fixando ); -
em função de (fixando ); -
em função de ambos e (superfície 3D); - curvas de nível (contornos de
).
Informações dadas (explicitamente):
- o parâmetro vale
. - precisamos representar a função solução em várias vistas/recortes.
Observação: a forma usual que vamos usar para a solução é a função
Com
isso fica explícito e é suficiente para construir todos os gráficos pedidos.
Passo 2
Aplique
na fórmula proposta. Substituindo
obtemos
Vamos entender cada parte dessa expressão:
-
é a distância ao origem (raio); -
é o ângulo polar; -
é um fator angular que varia entre e ; - o fator
faz com que a amplitude em cresça como uma parábola em .
Também é útil passar para coordenadas cartesianas
para visualizar melhor a superfície. Usando
e
e a identidade trigonométrica
temos
Como
e
, substituindo:
Portanto a expressão em coordenadas cartesianas é simples e muito útil:
Passo 3
Gráfico de
em função de
(fixando
).
Fórmula para este corte: mantendo
constante,
Análise prática:
- É uma parábola em
(grau 2). A concavidade depende do sinal de . - Exemplos concretos (pegue esses quando for rabiscar):
-
: e (parábola positiva). -
: (reta zero). -
: (parábola negativa).
-
- Para desenhar rápido no rascunho da prova: trace parábolas com amplitude multiplicada por
. Se o corte é a linha .
Passo 4
Gráfico de
em função de
(fixando
).
Fórmula para este corte: mantendo
constante,
Propriedades e dicas de esboço:
- É um cosseno com argumento
: período (porque ). - Amplitude igual a
. Ou seja, quanto maior , maior a amplitude das oscilações em . - Exemplos práticos:
- Para
: (amplitude 1, cruza zero em ). - Para
: (mesma forma, amplitude 4).
- Para
- Para desenhar: marque maxima em
(onde ), minimos em (onde ), e zeros em .
Passo 5
Gráfico de
como função de ambos
e
— superfície 3D.
Duas representações úteis para plotar/visualizar:
- Em coordenadas polares (paramétrica):
com
e
. Dá uma superfície que cresce em módulo com
e alterna sinal conforme
.
- Em coordenadas cartesianas simples:
Esta forma mostra claramente que a superfície é um selim (uma parábola para
-direção positiva e parábola invertida para
-direção). Mais precisamente: é uma superfície quadrática chamada de paraboloide hiperbólico (ou selim). Características que ajuda a desenhar:
- Sefixar
: corte é (parábola positiva). - Sefixar
: corte é (parábola negativa). - Diagonais
: (crista/vale de transição). - A superfície tem simetrias: par em
e ímpar em troca com sinal trocado.
Para rascunho rápido num prova: desenhe uma crista sobre a direção
(onde sobe) e um vale sobre a direção
(onde desce), conectados pelo plano
nas diagonais
.
Passo 6
Curvas de nível (contornos) de
.
A equação de nível
é, em cartesianas,
Interpretação geométrica:
- Para
: . São duas retas (diagonais). - Para
: são hipérboles com ramos abrindo ao longo do eixo . Escrevendo separam-se ramos com . - Para
: são hipérboles com ramos abrindo ao longo do eixo (pense em com negativo).
Em polares a mesma condição vira
o que mostra que para um dado
só existem
onde
tem o mesmo sinal de
. Isso explica os “buracos” angulares dos contornos quando desenhados em coordenadas polares.
Exemplos para rabiscar:
- Trace as retas
(nível 0). - Para
trace hipérboles com assíntotas em e vértices em . - Para
trace hipérboles com vértices em e abertura ao longo do eixo .
Passo 7
Instruções práticas de plotagem (rápido para a prova e para programas):
- Para
vs : escolha alguns representativos ( ) e desenhe . - Para
vs : escolha fixos (por ex. ) e desenhe num gráfico vs . - Para superfície 3D: use
num grid ; ou use a parametrização polar para limites em . - Para contornos: plote curvas
para vários (por exemplo ) — verá retas para e hipérboles para os outros.
Passo 8
Resumo intuitivo e dicas finais (ânimo):
- A expressão simples
é sua âncora: a partir dela você desenha cortes, superfícies e contornos. - Lembre-se: em
a função oscila com período ; em cresce como . - Se você ficar nervoso na prova, comece desenhando as retas
(nível 0) e as parábolas nas direções e (cortes), isso já dá a forma do selim. - Você está indo bem — use esses recortes passo a passo para produzir os gráficos pedindo pelo enunciado.