Considere a série de potências \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-7)^{n+2}}{n^{2}}.
(a) (2 pontos) Determine o seu raio de convergência.
(b) ( 2 pontos) Determine o seu intervalo de convergência.

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-7)^{n+2}}{n^{2}}.
Isso é conteúdo de séries de potências centradas em x_{0}=7. Para resolver, vamos primeiro reescrever a série de modo a identificar os coeficientes em (x-7)^{n}, usar o teste da raiz ou da razão para achar o raio R e, em seguida, testar convergência nos pontos extremos x=7\pm R.

Passo 2

Reescrevendo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-7)^{n+2}}{n^{2}} =(x-7)^{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-7)^{n}}{n^{2}}.
Para a segunda série, os coeficientes são a_{n}=1/n^{2}. Pelo teste da raiz, o raio de convergência R satisfaz
\frac{1}{R} =\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2/n}} =1,
pois n^{2/n}\to1. Logo R=1.

Passo 3

Agora testamos os extremos x=7\pm1.
Para x=8, temos (x-7)=1 e a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{n+2}}{n^{2}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}},
que converge (série p-com p=2>1).
Para x=6, temos (x-7)=-1 e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+2}}{n^{2}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}},
que também converge absolutamente (já que \sum1/n^{2} converge). Portanto ambos os extremos pertencem ao intervalo.

Resposta

(a) R=1
(b) O intervalo de convergência é [6,8].

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