Considere a série de potências
.
(a) (2 pontos) Determine o seu raio de convergência.
(b) ( 2 pontos) Determine o seu intervalo de convergência.
(a) (2 pontos) Determine o seu raio de convergência.
(b) ( 2 pontos) Determine o seu intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências
Isso é conteúdo de séries de potências centradas em
. Para resolver, vamos primeiro reescrever a série de modo a identificar os coeficientes em
, usar o teste da raiz ou da razão para achar o raio
e, em seguida, testar convergência nos pontos extremos
.
Passo 2
Reescrevendo
Para a segunda série, os coeficientes são
. Pelo teste da raiz, o raio de convergência
satisfaz
pois
. Logo
.
Passo 3
Agora testamos os extremos
.
Para
, temos
e a série vira
que converge (série
-com
).
Para
, temos
e
que também converge absolutamente (já que
converge). Portanto ambos os extremos pertencem ao intervalo.
Resposta
(a)
(b) O intervalo de convergência é .
(b) O intervalo de convergência é