(a) (2 pontos) Usando que e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} para todo x \in \mathbb{R}, encontre uma expansão em série de potências de x para x^{2} e^{-x}.
(b) (2 pontos) Derivando o resultado obtido no item (a), prove que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+2) 2^{n+1}}{n!}=-4

Passo 1

O enunciado pede:
(a) usar a série
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}
para obter uma expansão em série de potências de x para x^{2}e^{-x}.
(b) derivar essa expansão e, ao avaliá-la em x=2, mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(n+2)2^{n+1}}{n!}=-4.
O conteúdo é expansão em séries de potências e derivação termo a termo.

Passo 2

Começamos de
e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{n!}.
Multiplicando por x^{2} obtemos
x^{2}e^{-x} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n+2}}{n!}.

Passo 3

Podemos reescrever trocando o índice k=n+2. Para k\ge2 temos n=k-2 e
x^{2}e^{-x} =\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{\,k-2}\,x^{k}}{(k-2)!},
que é a expansão em série de potências desejada.

Passo 4

Agora derivamos termo a termo a série
f(x)=x^{2}e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n+2}}{n!}.
A derivada dá
f'(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(n+2)x^{n+1}}{n!}.

Passo 5

Por outro lado, derivando a expressão fechada f(x)=x^{2}e^{-x} temos
f'(x) =2x\,e^{-x}-x^{2}e^{-x} =e^{-x}(2x-x^{2}).
Em x=2 isto vale
f'(2) =e^{-2}(4-4)=0.

Passo 6

Igualando a forma em série avaliada em x=2 a zero, sai
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(n+2)2^{n+1}}{n!} =0.
O termo de n=0 é \tfrac{(-1)^{0}(0+2)2^{1}}{0!}=4, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(n+2)2^{n+1}}{n!} =0-4=-4.

Resposta

(a) x^{2}e^{-x} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n+2}}{n!}.
(b) -4.

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