(a) (2 pontos) Usando que
para todo
, encontre uma expansão em série de potências de
para
.
(b) (2 pontos) Derivando o resultado obtido no item (a), prove que
(b) (2 pontos) Derivando o resultado obtido no item (a), prove que
Passo 1
O enunciado pede:
(a) usar a série
(a) usar a série
para obter uma expansão em série de potências de
para
.
(b) derivar essa expansão e, ao avaliá-la em , mostrar que
(b) derivar essa expansão e, ao avaliá-la em
O conteúdo é expansão em séries de potências e derivação termo a termo.
Passo 2
Começamos de
Multiplicando por
obtemos
Passo 3
Podemos reescrever trocando o índice
. Para
temos
e
que é a expansão em série de potências desejada.
Passo 4
Agora derivamos termo a termo a série
A derivada dá
Passo 5
Por outro lado, derivando a expressão fechada
temos
Em
isto vale
Passo 6
Igualando a forma em série avaliada em
a zero, sai
O termo de
é
, logo
Resposta
(a)
(b)
.