(a) (2 pontos) Usando que
para todo
, encontre uma série de potências para representar a função
.
(b) (2 pontos) Usando a representação obtida no item (a), mostre que
.
(b) (2 pontos) Usando a representação obtida no item (a), mostre que
Passo 1
O enunciado pede:
(a) a partir da série geométrica para
, encontrar uma série de potências que represente
(a) a partir da série geométrica
(b) usar essa série para mostrar que
O conteúdo envolve séries de potências, diferenciação termo a termo e avaliação num valor específico de .
O conteúdo envolve séries de potências, diferenciação termo a termo e avaliação num valor específico de
Passo 2
Sabemos que dentro do raio de convergência
podemos diferenciar termo a termo a série
Aplicando
em ambos os lados, obtemos
Passo 3
Como
, concluímos
Agora, para escrever isso como uma série começando em
, fazemos a troca de índice
, ou seja,
. Então
Passo 4
Portanto, para
temos a representação buscada:
Além disso, multiplicando termo a termo por
, obtemos
Passo 5
Para mostrar que
, basta escolher
na fórmula acima:
Resposta
(a)
(b)
(b)