(a) (2 pontos) Usando que \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} para todo x \in(-1,1), encontre uma série de potências para representar a função f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
(b) (2 pontos) Usando a representação obtida no item (a), mostre que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}=2.

Passo 1

O enunciado pede:
(a) a partir da série geométrica \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n para |x|<1, encontrar uma série de potências que represente
f(x)=\frac{1}{(1 - x)^2}.
(b) usar essa série para mostrar que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} = 2.
O conteúdo envolve séries de potências, diferenciação termo a termo e avaliação num valor específico de x.

Passo 2

Sabemos que dentro do raio de convergência |x|<1 podemos diferenciar termo a termo a série
\frac{1}{1 - x} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty} x^n.
Aplicando \frac{d}{dx} em ambos os lados, obtemos
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{1}{1 - x}\Bigr) \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{d}{dx}\bigl(x^n\bigr) \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{n-1}.

Passo 3

Como \frac{d}{dx}(1 - x)^{-1} = (1 - x)^{-2}, concluímos
\frac{1}{(1 - x)^2} \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{n-1}.
Agora, para escrever isso como uma série começando em x^0, fazemos a troca de índice k = n - 1, ou seja, n = k+1. Então
\sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{n-1} \;=\; \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)\,x^k.

Passo 4

Portanto, para |x|<1 temos a representação buscada:
\frac{1}{(1 - x)^2} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,x^n.
Além disso, multiplicando termo a termo por x, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n\,x^n \;=\; \frac{x}{(1 - x)^2}.

Passo 5

Para mostrar que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}=2, basta escolher x = \tfrac12 na fórmula acima:
\sum_{n=1}^{\infty} n\Bigl(\tfrac12\Bigr)^n \;=\; \frac{\tfrac12}{\bigl(1 - \tfrac12\bigr)^2} \;=\; \frac{\tfrac12}{\bigl(\tfrac12\bigr)^2} \;=\; \frac{\tfrac12}{\tfrac14} \;=\; 2.

Resposta

(a) \displaystyle\frac{1}{(1 - x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,x^n,\quad |x|<1.
(b) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = 2.

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