Seja f uma função dada por f(x)=x^2x-2. Determine:
Mostre que f^prime(x)=x^2-4 x(x-2)^2.

Passo 1

Nesta questão, temos a função f definida por f(x)= x^2/(x-2) e queremos mostrar que sua derivada é f′(x)= (x^2−4x)/(x-2)^2. O conteúdo aqui é derivação de quociente, e vamos precisar usar a regra do quociente.

Passo 2

Para aplicar a regra do quociente, identificamos as funções internas u(x)= x^2 e v(x)= x-2. A regra do quociente afirma:
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
tu’(x)= 2x
v’(x)= 1
Em seguida, substituímos na regra do quociente:
f'(x)=(2x),(x-2)- (x^2),(1)(x-2)^2

Passo 4

Agora, distribuímos e simplificamos o numerador:
(2x)(x-2)-x^2 =2x^2-4x -x^2 =x^2-4x

Passo 5

Portanto a derivada fica:
f'(x)=x^2-4x(x-2)^2,
o que era o que precisávamos demonstrar.

Resposta

f'(x)=x^2-4x(x-2)^2

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