Considere a série a seguir:
sumk=2^infty x^k2^k k raizln k
Estude cuidadosamente os extremos do intervalo de convergência;

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado pede e identificar o método que vamos precisar. Temos a série de potências sumk=2^infty x^k2^k,k,raizln k. O objetivo é encontrar o raio de convergência e, em especial, analisar o comportamento em x=2 e x=-2. Vamos usar o Teste da Razão para obter o raio e depois aplicar o Teste da Integral e o Teste de Leibniz nos extremos.

Passo 2

Para determinar o raio de convergência, aplicamos o Teste da Razão: calculamos
L=limktoinfty |ak+1ak| =limktoinfty|x|2kk+1raizln kln(k+1) =|x|2
Concluímos que converge quando L<1, ou seja |x|<2. Assim o raio de convergência é R=2.

Passo 3

Agora estudamos o extremo x=2. Substituindo em x^k/2^k obtemos a série
sumk=2^infty 1k,raizln k
Para ver se ela converge, usamos o Teste da Integral. Considere
integral2^inftydxxraizln x
Fazendo a mudança de variável t=ln x, temos dt=dx/x e a integral vira
integralln 2^infty t^-1/2,dt = 2l[t^1/2r]ln2^infty=infty
Como a integral diverge, a série em x=2 também diverge.

Passo 4

Agora analisamos o extremo x=-2. A série fica
sumk=2^infty(-1)^k1k,raizln k
Aqui usamos o Teste de Leibniz para séries alternadas. As condições são:
  1. ak=1/(kraizln k)>0 e ak+1 para k grande (é fácil ver que ak é decrescente).
  2. akto0 quando ktoinfty.
    Como ambas valem, a série converge (mas não absolutamente, pois os termos em valor absoluto formam a série do caso x=2, que diverge).

Resposta

Em x=2 a série diverge. Em x=-2 ela converge condicionalmente.

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