Estude cuidadosamente os extremos do intervalo de convergência;
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado pede e identificar o método que vamos precisar. Temos a série de potências . O objetivo é encontrar o raio de convergência e, em especial, analisar o comportamento em e . Vamos usar o Teste da Razão para obter o raio e depois aplicar o Teste da Integral e o Teste de Leibniz nos extremos.
Passo 2
Para determinar o raio de convergência, aplicamos o Teste da Razão: calculamos
Concluímos que converge quando L<1, ou seja |x|<2. Assim o raio de convergência é R=2.
Passo 3
Agora estudamos o extremo x=2. Substituindo em x^k/2^k obtemos a série
sumk=2^infty 1k,raizln k
Para ver se ela converge, usamos o Teste da Integral. Considere
integral2^inftydxxraizln x
Fazendo a mudança de variável t=ln x, temos dt=dx/x e a integral vira
Como a integral diverge, a série em x=2 também diverge.
Passo 4
Agora analisamos o extremo x=-2. A série fica
sumk=2^infty(-1)^k1k,raizln k
Aqui usamos o Teste de Leibniz para séries alternadas. As condições são:
ak=1/(kraizln k)>0 e ak+1 para k grande (é fácil ver que ak é decrescente).
akto0 quando ktoinfty.
Como ambas valem, a série converge (mas não absolutamente, pois os termos em valor absoluto formam a série do caso x=2, que diverge).
Resposta
Em x=2 a série diverge. Em x=-2 ela converge condicionalmente.