Use integração por partes para resolver as integrais:
integral xsen^2(x) d x

Passo 1

Neste exercício, queremos calcular a integral integral xsin^2(x),dx = integral x,csc^2(x),dx. O conteúdo principal é integração por partes, usando a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos u = x e dv = csc^2(x),dx, porque a derivada de x simplifica e sabemos que csc^2(x) tem primitiva conhecida.
Derivamos e integramos as partes escolhidas: du = dx e v = integral csc^2(x),dx = -cot(x)

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:
integral x,csc^2(x),dx = u,v - integral v,du = -xcot(x) - integrall(-cot(x)r),dx = -xcot(x) + integral cot(x),dx

Passo 4

Agora, calculamos (\displaystyle \int \cot(x),dx = \int \frac{\cos(x)}{\sin(x)},dx = \ln\bigl|\sin(x)\bigr| + C.]

Resposta

-x\cot(x) + \ln\lvert\sin(x)\rvert + C

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