Use integração por partes para resolver as integrais:

Passo 1

Nesta questão vamos calcular integral 3 x^8 cos(x^3),dx. O conteúdo envolve substituição de variável e integração por partes, cuja fórmula é integral u,dv = uv - integral v,du.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a substituição de variável definindo
t = x^3, dt = 3x^2,dx
Como em 3x^8dx = x^6cdot(3x^2dx) e x^6 = t^2, reescrevemos a integral como
integral 3 x^8 cos(x^3),dx = integral t^2 cos t,dt

Passo 3

Aplica-se integração por partes em integral t^2 cos t,dt. Tomamos
u = t^2, dv = cos t,dt,
portanto
du = 2t,dt,
e
v = sin t
Pela fórmula de integração por partes, resulta
integral t^2 cos t,dt = t^2sin t - integral 2t sin t,dt

Passo 4

Para calcular integral 2t sin t,dt usamos integração por partes definindo
u1 = 2t, dv1 = sin t,dt,
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du1 = 2,dt, v1 = -cos t
Então
integral 2t sin t,dt = u1v1 - integral v1du1 = (2t)(-cos t) - integral(-cos t)cdot 2,dt = -2tcos t + 2integral cos t,dt = -2tcos t + 2sin t

Passo 5

Substituindo esse resultado em integral t^2 cos t,dt, obtemos
integral t^2 cos t,dt = t^2sin t - l(-2tcos t + 2sin tr) = t^2sin t + 2tcos t - 2sin t

Passo 6

Voltando à variável x com t = x^3, a antiderivada da integral original é
x^6sin(x^3) + 2x^3cos(x^3) - 2sin(x^3) + C

Resposta

x^6sin(x^3) + 2x^3cos(x^3) - 2sin(x^3) + C

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