Considere a série sum an, de termos não-negativos. Se sum an é convergente então a série sum an1+an também será.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos uma série sum an onde todos os termos an são maiores ou iguais a zero. A questão quer saber se, sabendo que essa série original converge (ou seja, soma até um valor finito), a série formada por sum an1+an também vai convergir. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries e testes de convergência, como o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir. Uma série sum an converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito quando adicionamos infinitos termos. Como os an são não-negativos e a série converge, sabemos que os termos an vão ficando menores e tendem a zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar a nova série sum an1+an. Nosso objetivo é comparar os termos dessa série com os da série original sum an para ver se a nova série também converge.

Passo 4

Observamos que para todo an >= 0, a expressão an1+an é sempre menor ou igual a an. Isso porque o denominador 1 + an é maior ou igual a 1, então dividir an por algo maior só diminui o valor.
an1 + an <= an

Passo 5

Como sabemos que sum an converge e cada termo an1 + an da nova série é menor ou igual ao correspondente termo de sum an, podemos aplicar o Teste da Comparação.
O Teste da Comparação diz que se 0 <= bn <= an para todo n e sum an converge, então sum bn também converge.

Passo 6

Aplicando o Teste da Comparação aqui, temos que:
  • bn = an1 + an
  • an = an
E já vimos que bn <= an. Como sum an converge, então sum an1 + an também converge.

Resposta

Portanto, se a série sum an converge e todos os an são não-negativos, a série sum an1+an também será convergente.

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