Considere a série
, de termos não-negativos. Se
é convergente então a série
também será.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos uma série
onde todos os termos
são maiores ou iguais a zero. A questão quer saber se, sabendo que essa série original converge (ou seja, soma até um valor finito), a série formada por
também vai convergir. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries e testes de convergência, como o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir. Uma série
converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito quando adicionamos infinitos termos. Como os
são não-negativos e a série converge, sabemos que os termos
vão ficando menores e tendem a zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar a nova série
. Nosso objetivo é comparar os termos dessa série com os da série original
para ver se a nova série também converge.
Passo 4
Observamos que para todo
, a expressão
é sempre menor ou igual a
. Isso porque o denominador
é maior ou igual a 1, então dividir
por algo maior só diminui o valor.
Passo 5
Como sabemos que
converge e cada termo
da nova série é menor ou igual ao correspondente termo de
, podemos aplicar o Teste da Comparação.
O Teste da Comparação diz que se
para todo
e
converge, então
também converge.
Passo 6
Aplicando o Teste da Comparação aqui, temos que:
E já vimos que
. Como
converge, então
também converge.
Resposta
Portanto, se a série
converge e todos os
são não-negativos, a série
também será convergente.