Dado
, mostre por definição que
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para mostrar, usando a definição de limite, que quando $ n $ cresce e vai para o infinito, a expressão $ \frac{1}{n^{p}} $ tende a 0. Aqui, $ p $ é um número natural. Vamos precisar entender a definição de limite de uma sequência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma sequência. Dizemos que $ \lim_{n \to +\infty} a_n = L $ se, para todo número pequeno positivo $ \varepsilon $, existe um número $ N $ tal que, para todo $ n $ maior ou igual a $ N $, a diferença entre $ a_n $ e $ L $ é menor que $ \varepsilon $. Em símbolos:
Passo 3
No nosso caso, queremos mostrar que $ L = 0 $ e $ a_n = \frac{1}{n^{p}} $. Então, precisamos provar que:
Que simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um $ N $ que dependa de $ \varepsilon $ tal que, se $ n \geq N $, então $ \frac{1}{n^{p}} < \varepsilon $. Vamos resolver essa desigualdade para $ n $:
Então, podemos escolher:
Onde $ \lceil \cdot \rceil $ representa o menor inteiro maior ou igual ao valor dentro.
Passo 5
Com esse $ N $ escolhido, para qualquer $ n \geq N $, teremos:
Então:
E assim:
Resposta
Portanto, mostramos que $ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^{p}} = 0 $.