Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que:
(a) lim (x, y) (0,0) x^4x^2+y^2=0.

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é o seguinte: queremos descobrir o limite da função x^4x^2+y^2 quando $ (x, y) $ se aproxima de (x, y) . Isso faz parte da matéria de limites de funções de duas variáveis, e para resolver, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem). Esse teorema ajuda a encontrar limites mostrando que uma função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando: x^4x^2+y^2. Queremos ver o que acontece com ela quando x e y ficam muito próximos de zero. Para aplicar o Teorema do Confronto, precisamos encontrar duas funções que são menores e maiores que a nossa função original, e que ambas tendem a zero nesse ponto.

Passo 3

Vamos tentar encontrar uma desigualdade para x^4x^2+y^2. Observando o denominador x^2 + y^2, sabemos que ele é sempre positivo, então podemos afirmar que x^2 + y^2 >= x^2, porque y^2 é positivo ou zero. Isso nos leva a:
x^2 + y^2 >= x^2

Passo 4

Agora, vamos inverter a desigualdade acima, já que estamos dividindo. Dividindo ambos os lados por x^2 + y^2 (que é positivo), temos:
1 >= x^2x^2 + y^2
Multiplicando os dois lados por x^2, obtemos:
x^2 >= x^4x^2 + y^2
Então, temos:
x^4x^2 + y^2 <= x^2

Passo 5

Além disso, sabemos que x^4x^2 + y^2 é sempre maior ou igual a zero, já que x^4 e x^2 + y^2 são positivos ou zero. Assim, temos:
0 <= x^4x^2 + y^2 <= x^2

Passo 6

Agora, vamos analisar os limites das funções que cercam a nossa função original. Sabemos que:
lim(x, y) to (0,0) 0 = 0
e
lim(x, y) to (0,0) x^2 = 0
Como ambas as funções que estão abaixo e acima da nossa função original têm limite zero quando $ (x, y) $ se aproxima de (x, y) , pelo Teorema do Confronto, a nossa função também tem esse limite.

Resposta

Portanto,
lim(x, y) to (0,0) x^4x^2+y^2 = 0

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