Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que:
(a)
.
(a)
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é o seguinte: queremos descobrir o limite da função
quando $ (x, y) $ se aproxima de
. Isso faz parte da matéria de limites de funções de duas variáveis, e para resolver, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem). Esse teorema ajuda a encontrar limites mostrando que uma função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
. Queremos ver o que acontece com ela quando
e
ficam muito próximos de zero. Para aplicar o Teorema do Confronto, precisamos encontrar duas funções que são menores e maiores que a nossa função original, e que ambas tendem a zero nesse ponto.
Passo 3
Vamos tentar encontrar uma desigualdade para
. Observando o denominador
, sabemos que ele é sempre positivo, então podemos afirmar que
, porque
é positivo ou zero. Isso nos leva a:
Passo 4
Agora, vamos inverter a desigualdade acima, já que estamos dividindo. Dividindo ambos os lados por
(que é positivo), temos:
Multiplicando os dois lados por
, obtemos:
Então, temos:
Passo 5
Além disso, sabemos que
é sempre maior ou igual a zero, já que
e
são positivos ou zero. Assim, temos:
Passo 6
Agora, vamos analisar os limites das funções que cercam a nossa função original. Sabemos que:
e
Como ambas as funções que estão abaixo e acima da nossa função original têm limite zero quando $ (x, y) $ se aproxima de
, pelo Teorema do Confronto, a nossa função também tem esse limite.
Resposta
Portanto,