Estude a convergência das séries abaixo:
sum n^nn!.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu uma série para estudar a convergência dela, que é a soma dos termos n^nn!. O conteúdo aqui envolve séries infinitas e convergência, e para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge analisando o limite do quociente entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série sum an, se o limite
L = limn to infty | an+1an |
for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teste à nossa série, onde an = n^nn!.
Calculamos o quociente an+1an:
an+1an = (n+1)^n+1(n+1)!n^nn! = (n+1)^n+1 cdot n!n^n cdot (n+1)!
Simplificando, percebemos que (n+1)! = (n+1) cdot n!, então:
an+1an = (n+1)^n+1n^n cdot (n+1) = (n+1n)^n cdot (n+1)

Passo 4

Vamos simplificar (n+1n)^n. Sabemos que n+1n = 1 + 1n, então:
(1 + 1n)^n approx e quando n to infty
Portanto, temos:
an+1an approx e cdot (n+1)

Passo 5

Agora, calculamos o limite conforme n tende ao infinito:
L = limn to infty e cdot (n+1) = infty

Resposta

Como L = infty é maior que 1, pelo Teste da Razão, a série sum n^nn! diverge.

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