Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Indique o critério utilizado.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+4}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+4}}
converge ou diverge e indicar o critério usado. Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+4}}.
  • A série começa em n=0. Observação importante: um número finito de termos iniciais (aqui o termo n=0) não altera a natureza de convergência/divergência, então podemos analisar a série a partir de n=1 sem perda de generalidade.

Passo 2

Vamos estudar o comportamento do termo geral quando n é grande, porque isso costuma decidir a convergência. Para n grande,
\sqrt{n^{2}+4}=n\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}.
Isso sugere que a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+4}} se comporta, para grandes n, como \dfrac{1}{n}. Intuição: se a_n é aproximadamente 1/n, e a série harmônica \sum 1/n diverge, a nossa série provavelmente também diverge. Para transformar essa intuição em prova formal, usaremos o teste da comparação por limite.

Passo 3

Enunciado do teste da comparação por limite (em linguagem simples):
Sejam a_n e b_n sequências com a_n>0 e b_n>0 para todo n suficientemente grande. Se existir o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Aqui a_n é o termo da nossa série e escolhemos b_n=\dfrac{1}{n} (a série harmônica), porque a observação anterior mostrou semelhança com 1/n.

Passo 4

Calcular o limite pedido pelo teste usando a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+4}} e b_n=\dfrac{1}{n}:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+4}}}{\dfrac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+4}}.
Agora simplificar dividindo numerador e denominador por n:
\frac{n}{\sqrt{n^{2}+4}}=\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{4}{n^{2}}}}.
Como \dfrac{4}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{4}{n^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1+0}}=1.
Portanto o limite L existe e vale 1, que é um número estritamente positivo e finito.

Passo 5

Conclusão pelo teste da comparação por limite: como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n}=1\in(0,\infty)
e a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge, então a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4}}
também diverge. Lembrando que o termo n=0 (iguais a \tfrac12) é apenas um termo a mais e não altera a divergência da série inteira que começa em n=0.

Resposta

Diverge (teste da comparação por limite com \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}).

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