Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem. Indique o critério utilizado.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge e indicar o critério usado. Informações relevantes que o enunciado dá:
- O termo geral é
. - A série começa em
. Observação importante: um número finito de termos iniciais (aqui o termo ) não altera a natureza de convergência/divergência, então podemos analisar a série a partir de sem perda de generalidade.
Passo 2
Vamos estudar o comportamento do termo geral quando
é grande, porque isso costuma decidir a convergência. Para
grande,
Isso sugere que
se comporta, para grandes
, como
. Intuição: se
é aproximadamente
, e a série harmônica
diverge, a nossa série provavelmente também diverge. Para transformar essa intuição em prova formal, usaremos o teste da comparação por limite.
Passo 3
Enunciado do teste da comparação por limite (em linguagem simples):
Sejam e
sequências com
e
para todo
suficientemente grande. Se existir o limite
Sejam
com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Aqui
é o termo da nossa série e escolhemos
(a série harmônica), porque a observação anterior mostrou semelhança com
.
Passo 4
Calcular o limite pedido pelo teste usando
e
:
Agora simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Como
quando
, temos
Portanto o limite
existe e vale
, que é um número estritamente positivo e finito.
Passo 5
Conclusão pelo teste da comparação por limite: como
e a série harmônica
diverge, então a série
também diverge. Lembrando que o termo
(iguais a
) é apenas um termo a mais e não altera a divergência da série inteira que começa em
.
Resposta
Diverge (teste da comparação por limite com
).