Considere a série \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln (n) \ln (\ln (n))}. Pede-se:
(a) Mostre que a função f(x)=\frac{1}{x \ln (x) \ln (\ln (x))} é positiva, decrescente e contínua no intervalo (e,+\infty].
(b) Use o teste da integral para decidir se a série dada é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado trata da série
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n\ln(n)\,\ln\bigl(\ln(n)\bigr)}
e pede:
– (a) mostrar que a função
f(x)=\frac{1}{x\ln(x)\,\ln\bigl(\ln(x)\bigr)}
é positiva, contínua e decrescente em (e,\infty);
– (b) usar o teste da integral para decidir se a série converge ou diverge.
O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos.

Passo 2

Para x>e temos \ln(x)>1 e, portanto, \ln\bigl(\ln(x)\bigr)>0. Assim o denominador de
f(x)=\frac{1}{x\ln(x)\,\ln\bigl(\ln(x)\bigr)}
é positivo, logo f(x)>0. Como x\mapsto x, x\mapsto\ln(x) e x\mapsto\ln(\ln(x)) são todas contínuas em (e,\infty) e o produto de funções contínuas que não se anula é contínuo, f é contínua em (e,\infty).

Passo 3

Para ver que f é decrescente, escrevemos f(x)=1/g(x) com
g(x)=x\ln(x)\,\ln\bigl(\ln(x)\bigr).
Calculamos
g'(x) =\underbrace{1\cdot\ln(x)\,\ln\bigl(\ln(x)\bigr)}_{=\ln(x)\ln(\ln(x))} + x\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl[\ln(x)\,\ln(\ln(x))\bigr].
Mas
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl[\ln(x)\,\ln(\ln(x))\bigr] =\frac{1}{x}\ln\bigl(\ln(x)\bigr) +\ln(x)\,\frac{1}{x\ln(x)} =\frac{\ln(\ln(x))+1}{x}.
Logo
g'(x) =\ln(x)\ln(\ln(x)) +x\cdot\frac{\ln(\ln(x))+1}{x} =\ln(x)\ln(\ln(x))+\ln(\ln(x))+1 >0
para todo x>e. Como g'(x)>0, g é crescente e f'(x)=-g'(x)/g(x)^2<0. Portanto f é decrescente em (e,\infty).

Passo 4

Pelo teste da integral, como f é positiva, contínua e decrescente em [3,\infty)\subset(e,\infty), a série converge se, e somente se,
\int_{3}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x =\int_{3}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x\ln(x)\,\ln\bigl(\ln(x)\bigr)}
converge. Fazemos a substituição
u=\ln\bigl(\ln(x)\bigr), \quad \mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x\ln(x)},
de modo que
\int_{3}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x\ln(x)\,\ln(\ln(x))} =\int_{u_0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}u}{u} =\bigl[\ln|u|\bigr]_{u_0}^{\infty} =\lim_{U\to\infty}\ln(U)-\ln(u_0)=+\infty.
Como a integral diverge, pela equivalência do teste, a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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