Usando a série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}, x \in(-1,1), encontre uma representação em série de potências com centro em x_{0}=0 para as funções abaixo e determine seu intervalo de convergência.
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{4}+16}

Passo 1

O enunciado pede a série de potências centrada em x_{0}=0 para
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{4}+16}
usando a série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x},\quad x\in(-1,1).
Vamos então reescrever f(x) de forma a aplicar esse modelo.

Passo 2

Fatoramos 16 no denominador:
x^{4}+16 = 16\Bigl(1 + \frac{x^{4}}{16}\Bigr).
Logo
f(x) = \frac{x^{2}}{16}\,\frac{1}{1 + \frac{x^{4}}{16}}.

Passo 3

Sabendo que
\frac{1}{1+u} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}u^{k},\quad |u|<1,
tomamos u = \tfrac{x^{4}}{16}. Assim
\frac{1}{1 + \frac{x^{4}}{16}} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\Bigl(\frac{x^{4}}{16}\Bigr)^{k} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{4k}}{16^{k}}.
Multiplicando por x^{2}/16 obtemos
f(x) = \frac{x^{2}}{16}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{4k}}{16^{k}} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{4k+2}}{16^{k+1}}.

Passo 4

A condição de convergência é
\Bigl|\frac{x^{4}}{16}\Bigr|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<2.

Resposta

f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{4k+2}}{16^{k+1}}, \quad |x|<2.

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