Considere a série \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln (n) \ln (\ln (n))}. Pede-se:
(a) Mostre que a função f(x)=\frac{1}{x \ln (x) \ln (\ln (x))} é positiva, decrescente e contínua no intervalo (e,+\infty].
(b) Use o teste da integral para decidir se a série dada é convergente ou divergente.
é positiva, contínua e decrescente em (e,\infty);
– (b) usar o teste da integral para decidir se a série converge ou diverge.
O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos.
Passo 2
Para x>e temos \ln(x)>1 e, portanto, \ln\bigl(\ln(x)\bigr)>0. Assim o denominador de
f(x)=\frac{1}{x\ln(x)\,\ln\bigl(\ln(x)\bigr)}
é positivo, logo f(x)>0. Como x\mapsto x, x\mapsto\ln(x) e x\mapsto\ln(\ln(x)) são todas contínuas em (e,\infty) e o produto de funções contínuas que não se anula é contínuo, f é contínua em (e,\infty).
Passo 3
Para ver que f é decrescente, escrevemos f(x)=1/g(x) com