Física - Série de Decaimento: Um material radioativo decai de forma que a quantidade restante após n anos é dada por a_{n}=e^{-0.01 n}. A série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} representa a quantidade total de material que decairá ao longo do tempo infinito. Esta série converge? Se sim, para qual valor?

Passo 1

O enunciado dá a sequência \bigl(a_{n}\bigr)_{n\ge1} definida por
a_{n}=e^{-0.01\,n}
e pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
converge e, em caso afirmativo, para qual valor. O conteúdo aqui é séries geométricas infinitas.

Passo 2

Note que a_{n} é uma progressão geométrica de razão
r = e^{-0.01},
já que
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{e^{-0.01\,(n+1)}}{e^{-0.01\,n}} =e^{-0.01}.
Como 0<e^{-0.01}<1, temos \lvert r\rvert<1, logo a série geométrica converge.

Passo 3

Para uma série geométrica de primeiro termo a_{1}=e^{-0.01} e razão r=e^{-0.01}, o valor da soma é
S = \frac{a_{1}}{1-r} = \frac{e^{-0.01}}{1 - e^{-0.01}}.

Resposta

A série converge e seu valor é
\frac{e^{-0.01}}{1 - e^{-0.01}} \approx 99{,}5.

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