Considere a série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}.
(a) Encontre seu raio de convergência.
(b) Defina f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}. Mostre que f(x)=f^{\prime}(x).
(c) Mostre que e^{-x} f(x) é constante (Sugestão: com a ajuda de (b) mostre que a derivada é 0 ).
(d) Mostre que e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}. (Sugestão: Use que f(0)=1 )
Passo 1
O enunciado trata da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},
pede (a) o raio de convergência, (b) mostrar que a soma define uma função f tal que f'=f, (c) provar que e^{-x}f(x) é constante e (d) concluir que f(x)=e^{x}. Vamos usar o teste da razão para (a), derivação termo a termo para (b), e regra do produto e avaliação em zero para (c) e (d).
Passo 2
Para achar o raio de convergência usamos o teste da razão em