Encontre uma representação em serie de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=x \ln (1+x)

Passo 1

O enunciado pede uma série de potências centrada em 0 para
f(x)=x\ln(1+x),
ou seja, queremos escrever
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n
e determinar para quais x essa série converge. Para isso vamos usar a expansão conhecida de \ln(1+x) e depois multiplicar por x.

Passo 2

Lembramos a expansão de Maclaurin para \ln(1+x), válida para |x|<1:
\ln(1+x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}.

Passo 3

Multiplicando essa série por x obtemos
x\ln(1+x) =x\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k} =\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{x^{k+1}}{k}.
Se quisermos reindexar em potências de x^n, basta deixar n=k+1. Então para n\ge2 temos
a_n = (-1)^n\frac{1}{\,n-1\,},
isto é
f(x)=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{\,n-1\,}.

Passo 4

Para achar o raio de convergência R usamos o teste da razão sobre os coeficientes c_n =(-1)^n/(n-1):
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n)}{1/(n-1)} =\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{n}=1.
Isso dá raio R=1, ou seja a série converge para |x|<1.

Passo 5

Precisamos agora testar os extremos |x|=1:
  • Em x=1 a série vira \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{1^{k+1}}{k} =\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{1}{k},que é a série alternante da soma \ln2, logo converge.
  • Em x=-1 a série é \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{(-1)^{k+1}}{k} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k},que diverge (série harmônica).

Resposta

A representação em série de potências é
x\ln(1+x) =\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{x^{k+1}}{k},
ou, reindexando em n=k+1,
x\ln(1+x) =\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{\,n-1\,}.
O intervalo de convergência é
-1<x\le1.

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