Considere a série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}.
(a) Encontre seu raio de convergência.
(b) Defina f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}. Mostre que f(x)=f^{\prime}(x).
(c) Mostre que e^{-x} f(x) é constante (Sugestão: com a ajuda de (b) mostre que a derivada é 0 ).
(d) Mostre que e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}. (Sugestão: Use que f(0)=1 )

Passo 1

O enunciado trata da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},
pede (a) o raio de convergência, (b) mostrar que a soma define uma função f tal que f'=f, (c) provar que e^{-x}f(x) é constante e (d) concluir que f(x)=e^{x}. Vamos usar o teste da razão para (a), derivação termo a termo para (b), e regra do produto e avaliação em zero para (c) e (d).

Passo 2

Para achar o raio de convergência usamos o teste da razão em
a_{n}=\frac{x^{n}}{n!}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1}=0.
Como esse limite é 0 para todo x, a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Logo o raio de convergência é infinito.

Passo 3

Definimos
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Derivando termo a termo (válido dentro do raio infinito), obtemos
f'(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{n!} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}.
Fazendo a troca de índice m=n-1, isso vira
f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{m}}{m!}=f(x).

Passo 4

Considere g(x)=e^{-x}f(x). Pela regra do produto,
g'(x) =(e^{-x})'\,f(x)+e^{-x}\,f'(x) =-e^{-x}f(x)+e^{-x}f'(x) =e^{-x}\bigl(f'(x)-f(x)\bigr).
Pelo resultado de (b), f'(x)-f(x)=0. Portanto g'(x)=0, ou seja, g(x) é constante.

Passo 5

Como g(x)=e^{-x}f(x) é constante, basta avaliar em x=0:
g(0)=e^{0}f(0)=1\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{0^{n}}{n!}=1.
Logo para todo x vale e^{-x}f(x)=1, isto é,
f(x)=e^{x}.

Resposta

(a) Raio de convergência infinito.
(b) f'(x)=f(x).
(c) e^{-x}f(x) é constante.
(d) \displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.

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