Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{-2 n}{n+1}\right)^{5 n}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{-2n}{n+1}\right)^{5n}.
O conteúdo de matéria aqui é o teste da raiz (teste de Cauchy) para séries numéricas, que nos permite decidir convergência absoluta ou divergência.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz, calculando
L = \lim_{n\to\infty}\biggl|\left(\frac{-2n}{n+1}\right)^{5n}\biggr|^{1/n} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n}{n+1}\right)^{5} = \bigl(\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n+1}\bigr)^{5} = 2^{5} = 32.

Passo 3

Como L=32>1, o teste da raiz garante que a série diverge. Em particular, ela não é absolutamente convergente, e também não há convergência condicional, pois seus termos nem sequer tendem a zero.

Resposta

Divergente.

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