Encontre uma representação em serie de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=x \ln (1+x)

Passo 1

O enunciado pede uma representação em série de potências de f(x)=x\ln(1+x) centrada em x=0 e o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar o desenvolvimento em série de \ln(1+x) para |x|<1 e depois multiplicar por x.

Passo 2

Lembrando que, para |x|<1, vale a expansão conhecida
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}.

Passo 3

Multiplicando termo a termo por x, obtemos a série para f(x):
x\ln(1+x) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n+1}}{n}.

Passo 4

Para determinar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão ao termo geral
\displaystyle a_n=(-1)^{n+1}x^{n+1}/n. Temos
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{n+2}/(n+1)}{|x|^{n+1}/n} =|x|\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=|x|.
Logo, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1; o raio é R=1.

Passo 5

Testando os extremos:
  1. Em x=1, a série vira \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}/n, que converge condicionalmente (é a série alternada que soma \ln2), e de fato f(1)=\ln2.
  2. Em x=-1, a série torna-se \sum_{n=1}^{\infty}1/n, que diverge (série harmônica). E f(-1)=-1\ln0 nem está definida.

Resposta

x\ln(1+x) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n+1}}{n}, \quad -1<x\le1.

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