Considere a série \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1}, a \in \mathbb{R}^{*}, e assinale a alternativa INCORRETA:
(a) A série converge se r=1 / l, com l<-1.
(b) A série converge se r=1 / l, com l>1.
(c) A série converge se r=\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} 4^{n-1}.
(d) A série converge se r=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} 3^{1-n}.
Passo 1
O enunciado dá a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{n-1} com a\in\mathbb{R}^{*} e pede que se assinale a alternativa INCORRETA entre:
(a) r=\dfrac{1}{l} com l<-1.
(b) r=\dfrac{1}{l} com l>1.
(c) r=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}4^{\,n-1}.
(d) r=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}3^{\,1-n}.
O que se pede é identificar qual dessas escolhas, tomada como valor de r, faz com que a série \sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{n-1} NÃO converja.
Passo 2
Lembra da propriedade básica da série geométrica: a série
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{n-1}
é uma série geométrica de razão r. Para estudar sua convergência usamos a soma parcial. Para r\neq 1 a soma parcial S_N é
Explicando: multiplicando \sum_{n=0}^{N-1} r^{n} pela fórmula da soma de uma progressão geométrica obtém-se \dfrac{1-r^{N}}{1-r}; aqui reindexamos para começar em n=1 e multiplicamos por a. Agora, o limite quando N\to\infty existe (logo a série converge) precisamente quando r^{N}\to 0, ou seja, quando |r|<1. Nesse caso a soma converge para
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{n-1} = \frac{a}{1-r}.
Se |r|\ge 1 (incluindo r=1) então r^{N} não tende a 0 e a série diverge. Portanto o critério prático: a série converge \iff\\ |r|<1.
Passo 3
Analisando a alternativa (a): r=\dfrac{1}{l} com l<-1.
Aqui l<-1 implica |l|>1. Então
|r|=\left|\frac{1}{l}\right|=\frac{1}{|l|}<1.
Pelo critério |r|<1, a série converge. Conclusão: (a) é verdadeira (não é a INCORRETA).
Passo 4
Analisando a alternativa (b): r=\dfrac{1}{l} com l>1.
Se l>1 então |l|=l>1 e
|r|=\left|\frac{1}{l}\right|=\frac{1}{l}<1.
Logo a série converge. Conclusão: (b) é verdadeira (não é a INCORRETA).
Passo 5
Analisando a alternativa (c): r=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}4^{\,n-1}. Primeiro simplifico o termo geral:
Mas \sum_{n=1}^{\infty}2^{n} é uma série geométrica com razão 2>1, portanto diverge para +\infty. Ou seja, a expressão dada para r NÃO converge a um número real finito (o “valor” seria infinito). Logo não faz sentido ter r com esse valor finito; em particular não se tem |r|<1. Consequência: tomando esse r a série \sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{n-1} não converge (já que r não é um número com |r|<1). Portanto a afirmação (c) — que a série converge se r for essa soma — é falsa. Conclusão: (c) é INCORRETA.
Passo 6
Analisando a alternativa (d): r=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}3^{\,1-n}. Primeiro simplifico o termo geral:
A soma \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{n} é geométrica com razão \dfrac{1}{6} (que é <1), logo converge e vale \dfrac{1/6}{1-1/6}=\dfrac{1/6}{5/6}=\dfrac{1}{5}. Assim
r = 3\cdot\frac{1}{5}=\frac{3}{5}.
Como \left|\dfrac{3}{5}\right|<1, pelo critério a série \sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{n-1} converge. Portanto (d) é verdadeira (não é a INCORRETA).
Passo 7
Resumo: (a) verdadeira, (b) verdadeira, (d) verdadeira, (c) falsa. A alternativa INCORRETA é a (c).