Questão 2. (30 pontos) Para cada um dos seguintes sistemas, encontre todos os seus equilibrios e determine, quando possível, sua estabilidade com os resultados vistos em aula.
(b) ( 15 pontos) x^{\prime}=x^{2}-x^{2} y, y^{\prime}=2 y^{2}-x y
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
Encontrar todos os pontos de equilíbrio (pontos (x,y) tais que x'=0 e y'=0).
Para cada equilíbrio encontrado, determinar sua estabilidade quando for possível usando os resultados vistos em aula (linearização/Jacobiano; se a linearização for inconclusiva, aplicar argumentos não lineares).
Passo 2
Encontrar os equilíbrios resolvendo o sistema algébrico
x^{2}(1-y)=0, \qquad y(2y-x)=0.
As possibilidades são dadas pelas combinações das fatores nulos.
Da primeira equação vem x=0 ou y=1.
Da segunda equação vem y=0 ou x=2y.
Agora combinamos:
Se x=0, então a segunda equação vira y(2y-0)=2y^{2}=0, logo y=0. Assim obtemos o ponto (0,0).
Se y=1, então a segunda equação exige 1\cdot(2\cdot1-x)=2-x=0, ou seja x=2. Assim obtemos o ponto (2,1).
As outras combinações (por exemplo y=0 com x\neq0) não dão novos pontos: se y=0 a primeira equação exige x^{2}=0\Rightarrow x=0, que já é (0,0). Se x=2y e x\neq0, então 1-y=0\Rightarrow y=1 e daí x=2, que é (2,1).
Conclusão: os equilíbrios são exatamente
(0,0)\quad\text{e}\quad(2,1).
Passo 3
Vou explicar a ferramenta principal usada para classificar equilíbrios: a linearização (Jacobiano).
Para um sistema \mathbf{u}'=F(\mathbf{u}) com \mathbf{u}=(x,y), o Jacobiano é a matriz das derivadas parciais
Regra prática vista em aula: se o Jacobiano no equilíbrio tem autovalores com parte real estritamente negativa, o equilíbrio é assintoticamente estável; se algum autovalor tem parte real positiva, é instável; se todos os autovalores têm parte real não nula (nenhum na linha imaginária), diz-se equilíbrio hiperbólico e a linearização determina totalmente a estabilidade. Se o Jacobiano tem autovalores com parte real zero (por exemplo autovalores nulos), a linearização é inconclusiva e é preciso análise não-linear.]
Passo 4
Calcular explicitamente as derivadas parciais e o Jacobiano geral.
Interpretação: há um autovalor positivo e outro negativo, logo (2,1) é um ponto de sela (saddle). Como nenhum autovalor tem parte real zero, o equilíbrio é hiperbólico e a linearização é conclusiva: (2,1) é instável (sela).]
Passo 6
Analisar o equilíbrio (0,0). Primeiro o Jacobiano em (0,0):
Todos os autovalores são 0. Assim a linearização é inconclusiva (não hiperbólico). Precisamos então de análise não-linear para decidir estabilidade.]
Passo 7
Análise não-linear detalhada em torno de (0,0). Vou usar argumentos simples e explícitos (e uma resolução exata em eixos invariantes) para mostrar que (0,0) é instável.
Observação de invariância dos eixos:
Se x(0)=0 então x'(t)=0 para todo t (pois x'=x^{2}(1-y)), logo a reta x=0 é invariante. Sobre essa reta o sistema reduz a y'=2y^{2}.
Se y(0)=0 então y'(t)=0, logo a reta y=0 é invariante. Sobre essa reta o sistema reduz a x'=x^{2}.
Estudo da dinamica sobre os eixos (soluções explícitas):
No eixo y=0 temos a ODE escalar
x' = x^{2}.
Esta equação é separável; resolvendo com condição inicial x(0)=x_0 (com x_0\neq 0):
Se x_0>0, então o denominador 1-x_0 t zera em t=1/x_0 e x(t)\to+\infty (explosão em tempo finito). Em particular, para qualquer vizinhança arbitrária de (0,0) existe x_0>0 suficientemente pequeno tal que a trajetória que começa em (x_0,0) sai dessa vizinhança (muito rapidamente). Isto prova instabilidade do ponto (0,0): existem perturbações arbitrariamente pequenas que se afastam.
Se x_0<0, então x(t)=\dfrac{x_0}{1-x_0 t} tende para 0 quando t\to+\infty (o denominador cresce), ou seja, o semi-eixo x<0, y=0 é atraente para o futuro em direção à origem.
Comportamento no eixo x=0:
Sobre x=0 a equação é y' = 2y^{2}. Solução com y(0)=y_0 é
y(t)=\frac{y_0}{1-2y_0 t}.
Para y_0>0 há explosão em tempo finito (sai da vizinhança); para y_0<0 temos y(t)\to 0 quando t\to+\infty.
Conclusão sobre (0,0):
Há direções (por exemplo pontos iniciais (x_0,0) com x_0>0 ou (0,y_0) com y_0>0) arbitrariamente próximas de (0,0) cuja solução se afasta (explode) em tempo finito. Logo (0,0) é instável.
Observação mais fina: o equilíbrio não é hiperbólico (Jacobiano nulo) e apresenta comportamento misto: algumas direções (semi-eixos x<0 e y<0) atraem para a origem no futuro, enquanto outras (semi-eixos x>0, y>0) repelem. Portanto é um tipo de ponto de equilíbrio “sela/semissela” não hiperbólico: instável no sentido de Lyapunov (não é estável).
Passo 8
Resumo e interpretação final (linguagem intuitiva para a prova):
Os equilíbrios são (0,0) e (2,1).
(2,1): ponto de sela (autovalores 1\pm\sqrt{5}), hiperbólico e portanto instável.
(0,0): linearização é nula (autovalores 0), linearização inconclusiva; análise não-linear mostra que existem trajetórias arbitrariamente próximas que se afastam (por exemplo (x_0,0) com x_0>0), portanto (0,0) é instável (não hiperbólico). Note que existem direções atraentes (ex.: x_0<0 sobre y=0), mas no sentido de estabilidade geral o ponto é instável.
Resposta
(0,0): instável (não hiperbólico; possui direções atraentes e repulsivas, logo não é estável).\newline (2,1): ponto de sela hiperbólico, instável.