Questão 3. (25 pontos) Encontre uma função
tal que as soluções do seguinte sistema estejam contidas em suas curvas de nível.
Use este fato para esboçar seu retrato de fase, com enfoque no nível zero desta função, ou seja,
.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede duas coisas:
- encontrar uma função
tal que as soluções do sistema estejam contidas nas curvas de nível de (isto é, é constante ao longo de cada solução); - usar isso para esboçar o retrato de fase, com ênfase no nível zero
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- o campo vetorial é
conforme escrito acima; - queremos
com a propriedade ao longo das soluções.
Passo 2
Ideia prática para achar
(explicando passo a passo): ao longo de uma solução
vale
Para que isto seja zero para todas as soluções basta tentar construir
tal que
Isso corresponde a procurar
com diferencial exato igual a
Antes de integrar, verificamos a condição de compatibilidade (exatidão): precisamos que
Agora calculamos as derivadas parciais dos termos dados:
Calculemos as parciais:
Como as duas expressões coincidem, a forma
é exata: podemos integrar para obter
.
Passo 3
Integramos
em relação a
(tratando
como constante) para encontrar
.
Primeiro escrevemos :
Primeiro escrevemos
Agora integramos em
:
onde
é uma função a determinar (constante de integração dependente de
). Então
Passo 4
Determinar
impondo
. Calculamos
da expressão encontrada:
Mas devemos ter
. Logo
, isto é,
é constante. Podemos tomar essa constante igual a zero (não altera as curvas de nível). Assim a função buscada é
Fatorando,
Por construção, ao longo de quaisquer soluções
vale
, ou seja, as trajetórias ficam contidas nas curvas
.
Passo 5
Encontrar os pontos de equilíbrio (úteis para o retrato). Equilíbrios satisfazem
e
. Resolvendo:
Interseções:
-
e . -
e . -
e (já) e . -
e , e então . Assim o quarto equilíbrio é .
Portanto os equilíbrios são:
Passo 6
Calcule
nos equilíbrios para ver em que nível eles estão:
Logo os três pontos
estão no nível
. No ponto
temos
Logo
está em um nível positivo
.
Passo 7
Classificação linear dos equilíbrios (razoável para o esboço). A jacobiana é
Avaliações:
- Em
: . Autovalores e → ponto do tipo sela. - Em
: . Autovalores e → sela. - Em
: . Autovalores e → sela. - Em
: . Aqui e , logo autovalores puramente imaginários no linearizado → ponto central (linearmente um centro). Como é uma primeira integral e tem um máximo estrito nesse ponto (verifica-se pelo Hessiano), esse equilíbrio é um centro não linear rodeado por órbitas fechadas.]
Passo 8
Descrever o nível zero
e o fluxo sobre suas componentes. Como
o conjunto
é a união de três curvas:
Essas três curvas ligam exatamente os três selas:
liga
a
;
liga
a
; e a reta
liga
a
. Por construção, cada uma dessas componentes é invariante (se a condição inicial está em
, a trajetória permanece nela).
Direções do fluxo sobre cada componente (substitua na equação do sistema para ver o sentido):
- Sobre o eixo
: . Para tem-se → movimento da esquerda para a direita (de em direção a ). Para tem (volta para a esquerda). - Sobre o eixo
: . Para tem → descida de para . Para tem . - Sobre a reta
: substituindo obtém-se . Para tem , logo o movimento é de para .
Assim a curva
forma as separatrizes que ligam as três selas, e é invariante com o sentido indicado acima.
Passo 9
Descrição qualitativa das demais curvas de nível e orientação das órbitas:
- No interior da região limitada pelas separatrizes (isto é, ao redor de
), os níveis com são curvas fechadas que representam órbitas periódicas (o centro é cercado por órbitas fechadas). O sentido de rotação pode ser determinado por um exemplo numérico: num ponto à direita do centro temos e , isto indica rotação no sentido anti-horário (contra‑horário). - No nível
aparecem as separatrizes (descritas no passo anterior). - Para níveis
as curvas de nível são abertas (não fechadas) e tendem a infinito; elas descrevem orbitas que não são periódicas.
Passo 10
Como esboçar o retrato de fase (passos práticos para o desenho):
- Marcar os quatro equilíbrios: três selas em
e um centro em . - Desenhar as três componentes de
: o eixo entre e , o eixo entre e , e a reta entre e . Colocar as setas conforme indicado no passo 8 (essas curvas são as separatrizes). - No interior das separatrizes desenhar curvas fechadas concêntricas em torno do centro
, com orientação anti-horária. - Fora das separatrizes desenhar curvas de nível que escapam para o infinito, atentando para que não cruzem as curvas de nível já desenhadas (níveis diferentes não se cruzam).
Força aí — com esses passos dá para desenhar um retrato de fase fiel: três selas ligadas por separatrizes (nível zero) e um centro cercado por órbitas fechadas (níveis positivos).
Resposta
O nível zero
é a união das curvas
,
e
; nelas estão os equilíbrios
(selas) e as setas seguem: sobre
(para
) o fluxo vai de
para
; sobre
(para
) vai de
para
; sobre
(para
) vai de
para
. O ponto
é um centro rodeado por órbitas fechadas
(orientação anti‑horária).