Escolha quatro itens abaixo e calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
(a) lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-4 x+3}{x^{2}-9}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite (ou justificar que não existe) do quociente quando x tende para 3:
\lim_{x\to 3} \frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-9}.
Informações dadas:
  • A expressão é a razão de dois polinômios: no numerador x^{2}-4x+3 e no denominador x^{2}-9.
  • O ponto considerado para o limite é x=3.
    A pergunta é: esse limite existe? Se sim, qual é seu valor; se não, por quê?

Passo 2

Teste de substituição direta: tentar colocar x=3 na expressão para ver se dá um valor finito imediato.
\text{Numerador em }x=3:\quad 3^{2}-4\cdot3+3=9-12+3=0.
\text{Denominador em }x=3:\quad 3^{2}-9=9-9=0.
Obtém-se a forma 0/0, que é uma forma indeterminada. Explicando de forma simples: a forma 0/0 não diz qual é o limite — pode existir um número finito, pode ser infinito, ou pode não existir — então precisamos manipular a expressão para descobrir.

Passo 3

Estratégia apropriada: fatorar numerador e denominador e simplificar. Vou lembrar rapidamente como fatorar:
  • Para um polinômio quadrático ax^{2}+bx+c, procurar fatores lineares (x-r)(x-s) tais que r+s=-b/a e rs=c/a.
  • Para diferença de quadrados x^{2}-a^{2}, vale a fatoração padrão (x-a)(x+a).
Aplicando isso aqui:
x^{2}-4x+3 = (x-1)(x-3),
porque (-1)+(-3)=-4 e (-1)\cdot(-3)=3.
x^{2}-9 = (x-3)(x+3),
pois é diferença de quadrados com a=3.

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração:
\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-9} = \frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}.
Para x\neq 3 podemos cancelar o fator comum (x-3), obtendo a expressão equivalente (para x próximos de 3, mas diferentes de 3):
\frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-1}{x+3},\qquad (x\neq 3).
Explicação didática: cancelar é permitido porque o limite considera valores de x arbitrariamente próximos de 3, porém distintos de 3. Assim, a função da qual estamos calculando o limite coincide com \dfrac{x-1}{x+3} em todo ponto numa vizinhança de 3 (exceto exatamente em 3), então o limite em 3 é o mesmo que o limite da função simplificada.

Passo 5

Agora calculamos o limite da função simplificada por substituição direta (já que ao simplificar eliminamos a indeterminação e a nova expressão é contínua em x=3):
\lim_{x\to 3}\frac{x-1}{x+3} = \frac{3-1}{3+3}=\frac{2}{6}.
Fazer a divisão simples:
\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Interpretação final (conceito): a função original tem uma descontinuidade removível em x=3 (porque o limite existe e é finito, mas a função original não está definida lá ou teria forma 0/0). O limite existe e é o mesmo valor que a função simplificada assume em x=3.

Passo 7

Um exemplo extra rápido para fixar a técnica: \lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}. Fatora-se x^{2}-1=(x-1)(x+1), cancela-se (x-1) (para x\neq1) e obtém-se \lim_{x\to1}(x+1)=2. Mesmo raciocínio: eliminar indeterminação por fatoração e avaliar.

Resposta

\dfrac{1}{3}

Exercícios relacionados