Escolha quatro itens abaixo e calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite (ou justificar que não existe) do quociente quando
tende para
:
Informações dadas:
- A expressão é a razão de dois polinômios: no numerador
e no denominador . - O ponto considerado para o limite é
.
A pergunta é: esse limite existe? Se sim, qual é seu valor; se não, por quê?
Passo 2
Teste de substituição direta: tentar colocar
na expressão para ver se dá um valor finito imediato.
Obtém-se a forma
, que é uma forma indeterminada. Explicando de forma simples: a forma
não diz qual é o limite — pode existir um número finito, pode ser infinito, ou pode não existir — então precisamos manipular a expressão para descobrir.
Passo 3
Estratégia apropriada: fatorar numerador e denominador e simplificar. Vou lembrar rapidamente como fatorar:
- Para um polinômio quadrático
, procurar fatores lineares tais que e . - Para diferença de quadrados
, vale a fatoração padrão .
Aplicando isso aqui:
porque
e
.
pois é diferença de quadrados com
.
Passo 4
Substituindo as fatorações na fração:
Para
podemos cancelar o fator comum
, obtendo a expressão equivalente (para
próximos de
, mas diferentes de
):
Explicação didática: cancelar é permitido porque o limite considera valores de
arbitrariamente próximos de
, porém distintos de
. Assim, a função da qual estamos calculando o limite coincide com
em todo ponto numa vizinhança de
(exceto exatamente em
), então o limite em
é o mesmo que o limite da função simplificada.
Passo 5
Agora calculamos o limite da função simplificada por substituição direta (já que ao simplificar eliminamos a indeterminação e a nova expressão é contínua em
):
Fazer a divisão simples:
Passo 6
Interpretação final (conceito): a função original tem uma descontinuidade removível em
(porque o limite existe e é finito, mas a função original não está definida lá ou teria forma
). O limite existe e é o mesmo valor que a função simplificada assume em
.
Passo 7
Um exemplo extra rápido para fixar a técnica:
. Fatora-se
, cancela-se
(para
) e obtém-se
. Mesmo raciocínio: eliminar indeterminação por fatoração e avaliar.