Considere a série
. Resolva.
(a) Usando o teste da raíz, o que você concluiu? Justifique.
(b) Usando o teste integral, o que você concluiu? Justifique.
(a) Usando o teste da raíz, o que você concluiu? Justifique.
(b) Usando o teste integral, o que você concluiu? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
aplicando (a) o teste da raiz e (b) o teste da integral. Vamos usar a definição do teste da raiz, que envolve
,
e o teste integral, que compara a série com
para .
e o teste integral, que compara a série com
para
Passo 2
Para o teste da raiz, tomamos
e calculamos
Como
quando
, segue
O teste da raiz é inconclusivo sempre que
.
Passo 3
Para o teste integral, note que
que é positiva e decrescente em
porque
.
Estudamos então
Estudamos então
Como
, temos
, logo
e, como
, o termo
quando
. Portanto a integral diverge e, pelo teste integral, a série também diverge.
Resposta
(a) O teste da raiz dá
, portanto é inconclusivo.
(b) Pelo teste integral, a integral diverge, então a série diverge.
(b) Pelo teste integral, a integral diverge, então a série diverge.