Considere a série sumn=1^infty(12)^ln (n). Resolva.
(a) Usando o teste da raíz, o que você concluiu? Justifique.
(b) Usando o teste integral, o que você concluiu? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftyl(tfrac12r)^ln n
aplicando (a) o teste da raiz e (b) o teste da integral. Vamos usar a definição do teste da raiz, que envolve
L=limntoinftyraiz[n]|an|,
e o teste integral, que compara a série com
integral1^inftyf(x),dx
para f(x)=(tfrac12)^ln x.

Passo 2

Para o teste da raiz, tomamos an=(tfrac12)^ln n e calculamos
L = limntoinftyraiz[n]an = limntoinftyl[(tfrac12)^ln nr]^1/n = limntoinfty(tfrac12)^ln nn
Como ln nnto0 quando ntoinfty, segue
L = (tfrac12)^0 = 1
O teste da raiz é inconclusivo sempre que L=1.

Passo 3

Para o teste integral, note que
f(x) = (tfrac12)^ln x = e^ln xcdotln(tfrac12) = x^-ln2,
que é positiva e decrescente em [1,infty) porque
f'(x) = -ln2;x^-ln2-1<0.
Estudamos então
integral1^inftyx^-ln2,dx
Como ln2<1, temos -ln2>-1, logo
integral1^Rx^-ln2,dx = [x^1-ln21-ln2]1^R = R^1-ln2-11-ln2
e, como 1-ln2>0, o termo R^1-ln2toinfty quando Rtoinfty. Portanto a integral diverge e, pelo teste integral, a série também diverge.

Resposta

(a) O teste da raiz dá L=1, portanto é inconclusivo.
(b) Pelo teste integral, a integral diverge, então a série diverge.

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