Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
;
Passo 1
O enunciado dá a série de potências centrada em
e pede o raio de convergência
e o intervalo de convergência. Para isso vamos usar o teste da raiz para encontrar
e depois checar os extremos
.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz na sequência dos coeficientes
Calculamos
Assim, o critério da raiz para a série de potências
sum an (x+3)^n é
Passo 3
Da condição
3,|x+3|<1 tiramos o raio de convergência
Passo 4
Os extremos do intervalo são
Passo 5
Para
x=-tfrac83 temos
x+3=tfrac13 . O termo geral fica
Essa é uma série alternante com termos
1/raizn que decrescem a zero, então converge (condicionalmente) pelo teste de Leibniz.
Passo 6
Para
x=-tfrac103 temos
x+3=-tfrac13 . O termo geral fica
Isso é uma
p -série com
p=tfrac12<1 , que diverge.
Resposta
Raio de convergência:
R=tfrac13 .
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência:
(comverge condicionalmente em
x=-tfrac83 e diverge em
x=-tfrac103 ).