Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty (-3)^nraizn(x+3)^n;

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em -3
sumn=1^infty (-3)^nraizn,(x+3)^n
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Para isso vamos usar o teste da raiz para encontrar R e depois checar os extremos x=-3pm R.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz na sequência dos coeficientes
an = (-3)^nraizn
Calculamos
limsupntoinfty l|anr|^1/n = limntoinfty 3n^1/(2n) =3
Assim, o critério da raiz para a série de potências sum an (x+3)^n é
limsupntoinftyl|an (x+3)^nr|^1/n =3,|x+3|<1

Passo 3

Da condição 3,|x+3|<1 tiramos o raio de convergência
R = 13

Passo 4

Os extremos do intervalo são
x = -3 + tfrac13 = -tfrac83, x = -3 - tfrac13 = -tfrac103

Passo 5

Para x=-tfrac83 temos x+3=tfrac13. O termo geral fica
(-3)^nraiznl(tfrac13r)^n = (-1)^nraizn
Essa é uma série alternante com termos 1/raizn que decrescem a zero, então converge (condicionalmente) pelo teste de Leibniz.

Passo 6

Para x=-tfrac103 temos x+3=-tfrac13. O termo geral fica
(-3)^nraiznl(-tfrac13r)^n = 1raizn
Isso é uma p-série com p=tfrac12<1, que diverge.

Resposta

Raio de convergência: R=tfrac13.
Intervalo de convergência:
l(-tfrac103,,-tfrac83r]
(comverge condicionalmente em x=-tfrac83 e diverge em x=-tfrac103).

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