Use o teorema de Green para calcular
ointC y^2 d x+x d y ,
em que
C é o quadrado de vértice $( \pm 1, \pm 1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointC y^2,dx + x,dy
onde C é o quadrado de vértices (pm1,pm1). O conteúdo usado será o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha fechada a uma integral dupla sobre a região D delimitada por C.

Passo 2

No Teorema de Green, escrevemos
P(x,y)=y^2, Q(x,y)=x
Então precisamos de
partial Qpartial x=1, partial Ppartial y=2y
O integrando do teorema é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =1-2y

Passo 3

Aplicando o Teorema de Green:
ointC y^2,dx + x,dy =integral duplaDl(1-2yr),dA,
onde D é o quadrado definido por -1<= x<=1 e -1<= y<=1.

Passo 4

Escrevendo a integral dupla em coordenadas cartesianas:
integral duplaD(1-2y),dA =integraly=-1^1!integralx=-1^1(1-2y),dx,dy
Como 1-2y não depende de x, primeiro
integralx=-1^1(1-2y),dx =(1-2y)l[xr]-1^1 =(1-2y)cdot2

Passo 5

Portanto
integral duplaD(1-2y),dA =2integraly=-1^1(1-2y),dy =2gl[integral-1^11,dy ;-;2integral-1^1y,dygr] =2l[2-2cdot0r] =4

Resposta

4

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