Exercício 7. (Apostol seção 11.15 exercício 24) Mude a ordem de integração e obtenha
integral0^a(integral0^y e^m(a-x) f(x) d x) d y=integral0^a(a-x) e^m(a-x) f(x) d x
em que m e a são constantes e a>0.

Passo 1

O enunciado pede para trocar a ordem de integração em
integral0^al(integral0^ye^m(a-x)f(x),dxr)dy,
onde m e a são constantes com a>0. O conteúdo usado será o teorema de Fubini (ou mudança de ordem de integração) para regiões do tipo triangular no plano (x,y).

Passo 2

Identificamos a função integranda dupla
g(x,y)=e^m(a-x)f(x)
e a região
R=(x,y)mid 0<= x<= y<= a
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integral0^al(integral0^ye^m(a-x)f(x),dxr)dy =integral duplaRg(x,y),dA

Passo 3

Ao trocar a ordem de integração em R, x varia de 0 até a e, para cada x, y varia de x até a. Assim,
integral duplaRg(x,y),dA =integralx=0^al(integraly=x^ae^m(a-x)f(x),dyr)dx

Passo 4

Como e^m(a-x)f(x) independe de y, a integral interna é
integraly=x^ae^m(a-x)f(x),dy =e^m(a-x)f(x),(a-x)
Substituindo em x,
integralx=0^a(a-x)e^m(a-x)f(x),dx

Resposta

integral0^al(integral0^ye^m(a-x)f(x),dxr)dy =integral0^a(a-x)e^m(a-x)f(x),dx

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