Considere a série sumn=1^infty an de termos positivos. Verifique que se a série sumn=1^infty an converge, então a série abaixo também converge
sumn=1^infty an1+an

Passo 1

Temos a série de termos não negativos
sumn=1^inftyan,
que, por hipótese, converge. Queremos mostrar que também converge
sumn=1^inftyan1+an
O conteúdo principal aqui é o Teste da Comparação Direta para séries de termos não negativos.

Passo 2

Observamos que, para cada n, como an>=0, temos 1+an>=1, logo
0 ;<=;an1+an;<=;an1 ;=;an

Passo 3

Como sumn=1^inftyan converge e
0 <= an1+an<= an,
pelo Teste da Comparação Direta concluímos que
sumn=1^inftyan1+an
também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyan1+an converge.

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