Verifique que integral0^+infty e^-x^2 x^2 n+1 d x=n!2 ; n in N.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ninN, vale
integral0^+infty e^-x^2,x^2n+1,dx ;=;n!2
O conteúdo é cálculo de integrais impróprias usando a função Gama. Vamos usar a substituição t=x^2 para reduzir ao integral da forma integral0^inftyt^ne^-tdt.

Passo 2

Fazendo a troca de variável
t = x^2,
temos
dt = 2x,dx Longrightarrow x,dx = dt2
Além disso, x^2n+1,dx = x^2n,(x,dx) = t^n,dt2

Passo 3

Substituindo no integral original, obtemos
integral0^+infty e^-x^2,x^2n+1,dx =integral0^+infty e^-t,l(t^ndt2r) =12integral0^+infty t^ne^-t,dt

Passo 4

Pela definição da função Gama, para inteiro n>=0 vale
Gamma(n+1)=integral0^+inftyt^ne^-t,dt = n!
Logo
integral0^+infty t^ne^-t,dt = n!

Passo 5

Substituindo de volta, concluímos
integral0^+infty e^-x^2,x^2n+1,dx =12,n!

Resposta

integral0^+infty e^-x^2,x^2n+1,dx = n!2

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