Determine os valores de x para os quais as séries abaixo convergem.
sumn=1^infty nx^n

Passo 1

O enunciado pede os valores de x para os quais a série
sumn=1^infty nx^n
converge. É uma série numérica em que o termo geral envolve uma potência de x, então vamos usar o teste da razão (ou do raiz) para determinar a região de convergência.

Passo 2

Defina an = nx^n. Pelo teste da razão, compute
L = limn to infty |an+1an| = limn to infty n+1n cdot 1|x| = 1|x|
A série converge se L<1, isto é,
1|x|<1 Longrightarrow |x|>1

Passo 3

Verifique os casos de fronteira |x|=1:
— Se x=1, a série vira sum n, que claramente diverge.
— Se x=-1, o termo geral é n(-1)^n, cujos valores não tendem a zero, logo também diverge.

Passo 4

Concluímos que não há convergência em |x|=1, e que a condição obtida pelo teste da razão é exata.

Resposta

A série converge se, e somente se, |x|>1.

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